[z] 'Tam thể' đưa sci-fi Trung Quốc bước ra thế giới

Reidlos · 6/4/24

Cl gì vậy

Spiderman(Peter Parker)2 · 6/4/24

living2nd · 6/4/24

Giết..

Siscon · 7/4/24

vãi lìn cơ chưởng

Red_Coral · 7/4/24

wubim nói: ↑

Đầu tiên phải nói rằng, 1 + 1 = 2 không phải tiên đề như nhiều người vẫn nghĩ. Trên thực tế 1 + 1 = 2 là một mệnh đề có thể chứng minh được nếu như có các điều kiện đi trước (tiên đề) quy định những khái niệm trong mệnh đề này. Vì vậy trước khi đi vào việc đấy thì ta cần tìm hiểu một vài khái niệm trước.
1- Số tự nhiên
"Chúa tạo ra số nguyên, tất cả những thứ còn lại là sản phẩm của con người" - Leopold Kronecker
Để nguồn gốc của số tự nhiên là một chủ đề dài dòng, nhưng chúng ta có thể hiểu rằng số tự nhiên là một hình thức đếm các sự vật tự nhiên của con người. Việc đếm này có thể xuất phát từ những quy luật trong sự quan sát các sự vật tự nhiên. Nếu như sử dụng ngôn ngữ tự nhiên, chúng ta có thể hiểu về quy luật đếm này thông qua ví dụ như sau:
- Một là số lượng mũi mà một con mèo bình thường, khỏe mạnh trong tự nhiên có.
- Hai là số lượng mắt mà một con mèo bình thường, khỏe mạnh trong tự nhiên có.
(Ở đây không đi sâu vào việc từ nguyên của các khái niệm mũi, mắt, mèo... mà chỉ dùng ví dụ này để giải thích cho việc quan sát tự nhiên. Các khái niệm trên đều có thể quy định theo cách khác, nhưng đấy là việc của ngôn ngữ học và xin không bàn trong bài viết này.)
Việc đếm này hoàn toàn mang tính chất định lượng, không có tính định tính. Có nghĩa là trong khi đếm, chúng ta đã mặc định rằng những vật được đếm có cùng "tính chất" như nhau. Việc quy định tính chất này, khi đặt ngoài phạm trù Toán học, thì có thể rất linh hoạt, nhưng khi đưa vào trong Toán học thì buộc phải có sự đồng nhất. Giả sử chúng ta đếm một rổ quả, thì rổ đó có thể có 5 quả cam, nhưng cũng có thể có 3 quả cam và 2 quả chanh. Nếu như chúng ta quy định rằng việc đếm dành cho riêng tính chất "cam" của quả và "chanh" của quả thì chúng ta sẽ có 3 quả cam và 2 quả chanh nhưng nếu như chúng ta quy tất cả những vật trong rổ đều cùng một tính chất "quả" thì chúng ta vẫn sẽ có 5 "quả". Trong toán học thuần túy, việc đếm được mặc định là không có các tính chất trên, hay là mặc định đồng nhất về tính chất (cho công bằng trong những trường hợp trao đổi chẳng hạn). Và để biểu thị cho việc định tính này, lịch sử loài người chứng kiến các phương thức khác nhau của các nền văn minh/dân tộc khác nhau:
- Người Ai Cập áp dụng hệ thống chữ tượng hình của họ cho việc đếm:

- Người La Mã sử dụng hệ thống số La Mã:

- Và hệ thống số Ả-rập được sử dụng rộng rãi trong Toán học hiện đại:

Các chữ số hiện tại chúng ta dùng như: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 chẳng qua chỉ là một loại ký hiệu nhằm biểu thị việc đếm mà thôi. Tuy nhiên, khi nhìn ở khía cạnh Toán học thì chúng không chỉ đơn thuần là đếm nữa mà chúng trở thành đối tượng Toán học (mathemetical object). Và khi đã là đối tượng Toán học, thì ngoài chức năng đếm, chúng còn phải đảm bảo thêm hai điều:
- Chúng có thể được sử dụng để thực hiện các suy diễn logic
- Chúng có thể được sử dụng để thực hiện các chứng minh trong toán học
Có một câu hỏi là: liệu chúng ta có thể sử dụng các ký hiệu khác thay cho 0, 1, 2, 3... hay không thì câu trả lời là CÓ. Tuy nhiên việc sử dụng các ký hiệu khác không có tính ứng dụng, do các quy chuẩn như quy chuẩn về ký hiệu số tự nhiên đã được chấp nhận và sử dụng quá lâu, ngoài ra còn một điểm quan trọng nữa là chúng phục vụ tốt mục đích của chúng.
2- Các phép toán số học sơ cấp (Elementary Arithmetic) và tiên đề Peano (Peano Anxioms)
Một trong những nhánh đầu tiên của Toán học cổ đại là Số học sơ cấp, với sự ra đời của các phép toán sơ cấp. Phép toán là những phép tính lấy đầu vào là hai hay nhiều toán hạng (hoặc phần tử) để đưa ra một ra trị đầu ra. Các phép toán của số học sơ cấp bao gồm:
- Phép cộng: Biểu hiện việc thêm vào, được ký hiệu bằng "+"
- Phép trừ: Biểu hiện việc giảm đi, và là đảo ngược của phép cộng, được ký hiệu bằng "-"
- Phép nhân: Biểu hiện việc nhân bản (scaling operation), cho phép hiển thị phép cộng nhiều toán hạng giống nhau thông qua số lượng toán hạng và ký hiệu "x"
- Phép chia: Là phép đảo ngược của phép nhân, và được ký hiệu là ":"
Vào thế kỷ thứ 19, nhà toán học Giuseppe Peano (27 tháng 8 năm 1858 – 20 tháng 4 năm 1932) đã sử dụng các khái niệm về số tự nhiên và phép toán số học sơ cấp để đưa ra các định đề nhằm xác định các tính chất của số tự nhiên, gọi chung là hệ tiên đề Peano. Hệ tiên đề này bao gồm 9 định đề :
Định đề đầu tiên nói rằng hằng số 0 là một số tự nhiên:
1. 0 là một số tự nhiên
Bốn định đề tiếp theo mô tả quan hệ bằng nhau
2. Với mỗi số tự nhiên x, x = x. Quan hệ bằng nhau có tính phản thân (reflexive)
3. Với tất cả các số tự nhiên x và y, nếu như x = y thì y = x. Quan hệ bằng nhau có tính đối xứng
4. Với tất cả các số tự nhiên x, y, và z, nếu như x = y thì y = z và x = z. Quan hệ bằng nhau có tính bắc cầu
5. Với mỗi a và b, nếu b là một số tự nhiên và a = b thì a cũng là số tự nhiên. Với phép bằng nhau, tập hợp số tự nhiên là một hệ đóng.
(Một tập hợp đóng trong điều kiện phép toán a là khi thực hiện phép toán a lên các phần tử của tập hợp ta chỉ được kết quả là một phần tử của tập hợp đấy)
Các định đề còn lại định hình tính chất phép toán trong tập hợp số tự nhiên. Nếu coi tập hợp số tự nhiên là đóng trong điều kiện hàm tiết triển đơn trị S:
(Hàm tiết triển (successor function) là hàm cho phép đưa ra kết quả tiếp theo trong dãy , còn Hàm đơn trị (single-valued) là hàm mà qua hàm, với mỗi phần tử thuộc tập nguồn chỉ tương ứng với một phần tử duy nhất trong tập đích.)
6. Với mỗi số tự nhiên n, S(n) là một số tự nhiên. Tập hợp số tự nhiên là tập hợp đóng đối với điều kiện hàm S.
7. Với mỗi số tự nhiên m và n, m = n khi và chỉ khi S(m) = S(n). S là một hàm đơn ánh
8. Với mỗi số tự nhiên n, S(n) = 0 là sai. Không có số tự nhiên nào trước 0.
9. Nếu K là một tập hợp mà:

0 thuộc K

Với mỗi số tự nhiên n, n thuộc K mà S(n) cũng thuộc K thì K chứa tất cả các số tự nhiên

Nếu như chiếu theo hệ định đề Peano, chúng ta có thể hiểu rằng, 0 là số tự nhiên đầu tiên, và tất cả các số tự nhiên khác chỉ là sản phẩm của hàm S. Có thể hiểu như sau:
Ta có dãy N bắt đầu bằng 0.
Phần tử tiếp theo của dãy N là sản phẩm của hàm tiết triển S đối với 0, ký hiệu là S(0). Theo quy tắc như thế, chúng ta sẽ có sản phẩm tiếp theo là S(S(0)), S(S(S(0)))... Và dãy N sẽ như thế này:
N = 0, S(0), S(S(0)), S(S(S(0))), ...
Các phép toán trong hệ số tự nhiên bao gồm phép Cộng và Nhân, được xây dựng như sau:
Phép cộng:
a + 0 = a
a + S(b) = S(a+b)
Phép nhân:
a . 0 = 0
a . S(b) = (a . b) + a
CHỨNG MINH 1 + 1 = 2
Trước khi sử dụng hệ tiên đề Peano để chứng minh: 1 + 1 = 2, xin nói rằng đây không phải là cách duy nhất. Trên thực tế, còn có những cách khác để giải quyết vấn đề này:
1. Định danh/Định nghĩa: Không phải chứng minh mà sử dụng việc gán định nghĩa. Tức là 2 := 1 + 1. Ở đây ta sử dụng ký hiệu "2" để gán cho kết quả của phép biến đổi "1 + 1". Cách này sẽ trả lời cho một câu hỏi phát sinh: Tại sao " 1 + 1 " lại " = 2" chứ không phải " = 3"? Với việc gán định nghĩa này, thì bằng 3, 4, 5, hay 6 đều được, nhưng chúng không có ý nghĩa về mặt toán học.
Lý do: Nếu như sử dụng việc định nghĩa, thì "1 + 1 = 2" gần với ngôn ngữ tự nhiên hơn là ngôn ngữ Toán học. Khi đó thì hoàn toàn có thể hiểu rằng "phép thêm vào giữa một với một cho ra một kết quả, kết quả đó được đặt tên là hai".
Và vì như vậy, với một biến đổi khác, chúng ta lại phải lặp lại quy trình định danh/định nghĩa trên. Trong khi đó, nếu như "1", "2" , "+", "=" là các đối tượng Toán học, thì chúng còn phải có thể sử dụng để thực hiện các phép suy luận logic và thực hiện chứng minh toán học nữa. Mà để thực hiện được các phép suy luận logic và thực hiện chứng minh toán học thì chúng ta cần phải đặt ra các "điều luật cơ bản" về các yếu tố trong một hệ thống logic (Toán học là một dạng hệ thống logic). Các điều luật cơ bản này được gọi là hệ tiên đề/tiên đề.
Chúng ta công nhận hệ tiên đề không phải vì chúng tuyệt đối đúng, mà vì chúng là những điều luật cơ bản để từ đó chúng ta phát triển được các phép biến đổi khác trong hệ thống sử dụng những điều luật này. Có thể so sánh việc này với chơi cờ vua vậy. Kỳ thủ sẽ không hỏi "Tại sao lại có luật này?" mà sẽ chỉ sử dụng các điều luật đó để đạt được những kết quả mà hệ thống luật đấy cho phép.
2. Cách chứng minh của Alfred North Whitehead và Bertrand Russell trong cuốn "Principia Mathematica"
Nhiều người nói rằng đây là cách chứng minh 300 trang, nhưng thực ra thì không phải. Chỉ có một phần trong cuốn sách này được dùng để chứng minh 1 + 1 = 2 thôi. Và đấy là trang này:

$[IMG]$
Trong đó, mệnh đề " 1 + 1 = 2" được viết lại bằng ngôn ngữ logic như sau:

$[IMG]$
Và nếu viết bằng ngôn ngữ logic hiện đại hơn chút thì sẽ thế này:
∗54.43. ⊢((α,β∈1) ⊃ ((α∩β=Λ) ≡ (α∪β∈2)))
Tôi sẽ không giải thích cách chứng minh này ở đây mà sẽ để dành cho một bài viết khác, khi tôi thực sự có thể hiểu hết những gì viết ở mấy dòng trên.
*
Bây giờ quay trở lại với chứng minh "1 + 1 = 2" thông qua hệ tiên đề Peano. Để tóm gọn lại, với một hàm tiết triển đơn trị S, quan hệ bằng nhau và phép cộng, ta có:
(1) Với mỗi m và n, S(m) = S(n) khi và chỉ khi m = n
(2) Với tập hợp số tự nhiên N là tập hợp đóng dưới hàm S, với mỗi a nằm trong tập hợp N thì hoặc là a = 0, hoặc là a = S(b) với b cũng nằm trong N
(3) Không có tồn tại số n nào trong tập N mà S(n) = 0
(4) Phép cộng trong tập N được biểu diễn như sau:
a + 0 = a
a + S(b) = S(a + b)
Nếu như coi S(0) = 1 và S(1) = 2. Chúng ta sẽ cần phải chứng minh: S(0) + S(0) = S(1)
Ta có:
Từ (4):
S(0) + S(0) = S(S(0) + 0) (5)
S(0) + 0 = S(0) (6)
Từ (1) và (5):
S(S(0) + 0) = S(S(0)) (7)
Từ (5) và (7):
S(0) + S(0) = S(S(0)) hay 1 + 1 = 2 (điều phải chứng minh)

===============
Giới thiệu:

Cả một thời gian dài trong đời HS phổ thông lớp 1 – lớp 9, chúng ta công nhận

1 + 1 = 2 như một sự thật hiển nhiên; Cũng như công nhận các định nghĩa phép cộng, phép nhân, chia…trong số tự nhiên N theo sách giao khoa. Nhưng khi đã có các kiến thức sơ đẳng về logic toán, l‎í thuyết tập hợp, ánh xạ và với những ai yêu toán học lại có chút “đầu óc” tư duy toán học thì không thể “bằng lòng” với “điều hiển nhiên” ấy ! Nhất là khi tiếp cận với “nghịch lí 1 + 1 = 1” với các dẫn dụ:

1 giọt nước thêm vào 1 ao nước vẫn là 1 ao nước;

1 hạt cát + 1 đống cát = 1 đống cát

1 tập hợp hữu hạn + 1 tập hợp vô hạn = 1 tập hợp vô hạn.

Tìm hiểu thêm, chúng ta biết rằng : 1 + 1 = 2 chỉ có thể chứng minh được chặt chẽ thành định lí [1] sau khi nhà toán học Giuseppe Peano (1891) đưa ra hệ tiên đề mang tên ông: “hệ tiên đề Peano” [2]

Tài liệu này sưu tầm một số thông tin liên quan định lí và tiên đề nói trên

1/ Chứng minh 1+1=2 như thế nào ?

Để CM dịnh lí này ta phải đi về tận cội nguồn sâu xa của toán học.
Tại sao có 1+1=2 ? Đó chẳng qua là do sự nhận thức trực quan của con người khi thấy có 1 con bò đẻ thêm 1 con bò người ta được 2 con bò.
Nhưng chúng ta lập luận theo “kiểu toán học”: Cộng một ( +1) vào một số trong tập số tự nhiên ( N) chính là phép biểu hiện số liền sau. Như vậy, 1+1 nghĩa là số liền sau số 1, n+1 nghĩa là số liền sau số n. Cách hiểu vấn đề như vậy cũng còn rất trực quan; tiếp theo ta phải lập luận:

Hệ tiên đề Peano
Nhà toán học Giuseppe Peano (1858 - 1932) [3] đã đưa ra hệ tiên đề Peano gồm 4 tiên đề như sau:
Có một tập hợp N gồm các tính chất sau:
1/ Với mỗi phần tử x trong N có một phần tử, ký hiệu là S(x), trong N được gọi là phần tử kế tiếp của x
2/ Cho x và y trong N sao cho, nếu S(x)=S(y) thì x = y
3/ Có một phần tử trong N ký hiệu là 1 sao cho 1 không là phần tử kế tiếp của một tử nào trong N (nghĩa là không tồn tại x sao cho S(x)=1 )
4/ Cho U là tập con của N sao cho 1 thuộc U và S(x) thuộc U  x thuộc U. Lúc đó U = N

Ta thấy rằng, các phép cộng, phép nhân trên N cũng chỉ là một ánh xạ :

NxN -> N
Với các định nghĩa trên của Peano, ta có thể xác định:

2 là S(1), 3 là S(2), 4 là S(3) .........
Ta cũng có thể xác định phép cộng trên N như sau: n+1 = S(n), n+2=S(n+1)
Ta cũng có thể xác định phép nhân trên N như sau: 1.n = n, 2.n = n+n, ....

Và do đó việc 1+1=2 là do từ các tiên đề Peano mà có.

Lưu ý:

*Từ các tiên đề Peano, định nghĩa phép công, phép nhân, ta có thể CM các tính chất giao hoán, phân phối. Và đặc biệt, quan trọng nhất là: Tập N được định nghĩa như trên là duy nhất theo nghĩa song ánh (Nếp tồn tại tập M thỏa mãn các tiên đề Peano, thì tồn tại song ánh từ N vào M) .

* Các kí tự số 1, 2, 3, …n biểu diễn trên đây đều là trong hệ số đếm thập phân; nếu bểu diễn trong hệ nhị phân thì là 1 + 1 = 10.

* Trong phép cộng số học phổ thông, các số không có đơn vị đính kèm, chúng đã được khái quát hóa => Các sách GK phổ thông về toán khi giải về cộng Thí dụ số bò thì ghi ra ngoài: 1, 2 , 3 (con bò) => không thể cộng: 1 con bò + 1 đuôi bò….

2/ Hiểu thêm về “nghịch lí 1 + 1 = 1”

Với các dẫn dụ:

1 giọt nước thêm vào 1 ao nước vẫn là 1 ao nước;

1 hạt cát + 1 đống cát = 1 đống cát

Rõ ràng 1 gọt với 1 ao (nước); 1 hạt với 1 đống (cát) không thuộc tập số tự nhiên, không bị ràng buộc bởi tiên đề Peano. Nếu hiểu trong lĩnh vực số và các định nghĩa phép cộng của hệ tiên đề Peano thì đây là các “ngụy lí”.

Riêng nghịch lí: 1 tập hợp hữu hạn + 1 tập hợp vô hạn = 1 tập hợp vô hạn lại là nghịch lí hay, nhưng không nằm trong lí thuyêt số học sơ cấp .

3/ Tham khảo [1]

Việc chứng minh bắt đầu từ Peano Postulates (hệ tiên đề Peano), với định nghĩa số tự nhiên N. N là tập nhỏ nhất thoả hệ tiên đề : (P=tiên đề peano)

Khi đó ta phải chứng minh đệ quy phép cộng:
Định nghĩa: cho a và b thuộc N. nếu b = 1 thì a+b=a’
(dùng P1 và P2): nếu b khác 1 thì cho c’ = b, với c thuộc N
(dùng P4) : và định nghĩa a+b = (a+c’ ) thì phải có định nghĩa 2:
Định nghĩa 2: 2=1’
2 thuộc N theo P1, P2, và định nghĩa 2
Định lí: 1+1=2
Sử dụng phần đầu tiên của định nghĩa và với a = b = 1 thì

1 + 1 = 1’  (đpcm)

Chú ý: với công thức thay thế lần lượt của Peano Postulates, khi thay 1 bằng 0 vào P1, P3, P4 và P5 khi đó phải thay đổi định nghĩa phép cộng thành:
Định nghĩa: cho a và b thuộc N. nếu b =0, thì định nghĩa a +b = a
Nếu b khác 0, với c thuộc N, và định nghĩa a + b =( a+ c)’
Cũng phải định nghĩa 1 = 0’, và 2= 1’. Khi đó dẫn chứng cho định lí trên có một sự khác biệt nhỏ:
Chứng minh: dùng phần thứ hai của định nghĩa của phép cộng :
1 + 1 = (1+0)’
Rồi dùng phần đầu của định nghĩa phép cộng về tổng
1 +1 = (1)’ = 2 (đpcm)
Click to expand...

Giết

liinyxl · 7/4/24

Đm Caro ver N à?

meoden1008 · 7/4/24

wubim nói: ↑

Đầu tiên phải nói rằng, 1 + 1 = 2 không phải tiên đề như nhiều người vẫn nghĩ. Trên thực tế 1 + 1 = 2 là một mệnh đề có thể chứng minh được nếu như có các điều kiện đi trước (tiên đề) quy định những khái niệm trong mệnh đề này. Vì vậy trước khi đi vào việc đấy thì ta cần tìm hiểu một vài khái niệm trước.
1- Số tự nhiên
"Chúa tạo ra số nguyên, tất cả những thứ còn lại là sản phẩm của con người" - Leopold Kronecker
Để nguồn gốc của số tự nhiên là một chủ đề dài dòng, nhưng chúng ta có thể hiểu rằng số tự nhiên là một hình thức đếm các sự vật tự nhiên của con người. Việc đếm này có thể xuất phát từ những quy luật trong sự quan sát các sự vật tự nhiên. Nếu như sử dụng ngôn ngữ tự nhiên, chúng ta có thể hiểu về quy luật đếm này thông qua ví dụ như sau:
- Một là số lượng mũi mà một con mèo bình thường, khỏe mạnh trong tự nhiên có.
- Hai là số lượng mắt mà một con mèo bình thường, khỏe mạnh trong tự nhiên có.
(Ở đây không đi sâu vào việc từ nguyên của các khái niệm mũi, mắt, mèo... mà chỉ dùng ví dụ này để giải thích cho việc quan sát tự nhiên. Các khái niệm trên đều có thể quy định theo cách khác, nhưng đấy là việc của ngôn ngữ học và xin không bàn trong bài viết này.)
Việc đếm này hoàn toàn mang tính chất định lượng, không có tính định tính. Có nghĩa là trong khi đếm, chúng ta đã mặc định rằng những vật được đếm có cùng "tính chất" như nhau. Việc quy định tính chất này, khi đặt ngoài phạm trù Toán học, thì có thể rất linh hoạt, nhưng khi đưa vào trong Toán học thì buộc phải có sự đồng nhất. Giả sử chúng ta đếm một rổ quả, thì rổ đó có thể có 5 quả cam, nhưng cũng có thể có 3 quả cam và 2 quả chanh. Nếu như chúng ta quy định rằng việc đếm dành cho riêng tính chất "cam" của quả và "chanh" của quả thì chúng ta sẽ có 3 quả cam và 2 quả chanh nhưng nếu như chúng ta quy tất cả những vật trong rổ đều cùng một tính chất "quả" thì chúng ta vẫn sẽ có 5 "quả". Trong toán học thuần túy, việc đếm được mặc định là không có các tính chất trên, hay là mặc định đồng nhất về tính chất (cho công bằng trong những trường hợp trao đổi chẳng hạn). Và để biểu thị cho việc định tính này, lịch sử loài người chứng kiến các phương thức khác nhau của các nền văn minh/dân tộc khác nhau:
- Người Ai Cập áp dụng hệ thống chữ tượng hình của họ cho việc đếm:

- Người La Mã sử dụng hệ thống số La Mã:

- Và hệ thống số Ả-rập được sử dụng rộng rãi trong Toán học hiện đại:

Các chữ số hiện tại chúng ta dùng như: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 chẳng qua chỉ là một loại ký hiệu nhằm biểu thị việc đếm mà thôi. Tuy nhiên, khi nhìn ở khía cạnh Toán học thì chúng không chỉ đơn thuần là đếm nữa mà chúng trở thành đối tượng Toán học (mathemetical object). Và khi đã là đối tượng Toán học, thì ngoài chức năng đếm, chúng còn phải đảm bảo thêm hai điều:
- Chúng có thể được sử dụng để thực hiện các suy diễn logic
- Chúng có thể được sử dụng để thực hiện các chứng minh trong toán học
Có một câu hỏi là: liệu chúng ta có thể sử dụng các ký hiệu khác thay cho 0, 1, 2, 3... hay không thì câu trả lời là CÓ. Tuy nhiên việc sử dụng các ký hiệu khác không có tính ứng dụng, do các quy chuẩn như quy chuẩn về ký hiệu số tự nhiên đã được chấp nhận và sử dụng quá lâu, ngoài ra còn một điểm quan trọng nữa là chúng phục vụ tốt mục đích của chúng.
2- Các phép toán số học sơ cấp (Elementary Arithmetic) và tiên đề Peano (Peano Anxioms)
Một trong những nhánh đầu tiên của Toán học cổ đại là Số học sơ cấp, với sự ra đời của các phép toán sơ cấp. Phép toán là những phép tính lấy đầu vào là hai hay nhiều toán hạng (hoặc phần tử) để đưa ra một ra trị đầu ra. Các phép toán của số học sơ cấp bao gồm:
- Phép cộng: Biểu hiện việc thêm vào, được ký hiệu bằng "+"
- Phép trừ: Biểu hiện việc giảm đi, và là đảo ngược của phép cộng, được ký hiệu bằng "-"
- Phép nhân: Biểu hiện việc nhân bản (scaling operation), cho phép hiển thị phép cộng nhiều toán hạng giống nhau thông qua số lượng toán hạng và ký hiệu "x"
- Phép chia: Là phép đảo ngược của phép nhân, và được ký hiệu là ":"
Vào thế kỷ thứ 19, nhà toán học Giuseppe Peano (27 tháng 8 năm 1858 – 20 tháng 4 năm 1932) đã sử dụng các khái niệm về số tự nhiên và phép toán số học sơ cấp để đưa ra các định đề nhằm xác định các tính chất của số tự nhiên, gọi chung là hệ tiên đề Peano. Hệ tiên đề này bao gồm 9 định đề :
Định đề đầu tiên nói rằng hằng số 0 là một số tự nhiên:
1. 0 là một số tự nhiên
Bốn định đề tiếp theo mô tả quan hệ bằng nhau
2. Với mỗi số tự nhiên x, x = x. Quan hệ bằng nhau có tính phản thân (reflexive)
3. Với tất cả các số tự nhiên x và y, nếu như x = y thì y = x. Quan hệ bằng nhau có tính đối xứng
4. Với tất cả các số tự nhiên x, y, và z, nếu như x = y thì y = z và x = z. Quan hệ bằng nhau có tính bắc cầu
5. Với mỗi a và b, nếu b là một số tự nhiên và a = b thì a cũng là số tự nhiên. Với phép bằng nhau, tập hợp số tự nhiên là một hệ đóng.
(Một tập hợp đóng trong điều kiện phép toán a là khi thực hiện phép toán a lên các phần tử của tập hợp ta chỉ được kết quả là một phần tử của tập hợp đấy)
Các định đề còn lại định hình tính chất phép toán trong tập hợp số tự nhiên. Nếu coi tập hợp số tự nhiên là đóng trong điều kiện hàm tiết triển đơn trị S:
(Hàm tiết triển (successor function) là hàm cho phép đưa ra kết quả tiếp theo trong dãy , còn Hàm đơn trị (single-valued) là hàm mà qua hàm, với mỗi phần tử thuộc tập nguồn chỉ tương ứng với một phần tử duy nhất trong tập đích.)
6. Với mỗi số tự nhiên n, S(n) là một số tự nhiên. Tập hợp số tự nhiên là tập hợp đóng đối với điều kiện hàm S.
7. Với mỗi số tự nhiên m và n, m = n khi và chỉ khi S(m) = S(n). S là một hàm đơn ánh
8. Với mỗi số tự nhiên n, S(n) = 0 là sai. Không có số tự nhiên nào trước 0.
9. Nếu K là một tập hợp mà:

0 thuộc K

Với mỗi số tự nhiên n, n thuộc K mà S(n) cũng thuộc K thì K chứa tất cả các số tự nhiên

Nếu như chiếu theo hệ định đề Peano, chúng ta có thể hiểu rằng, 0 là số tự nhiên đầu tiên, và tất cả các số tự nhiên khác chỉ là sản phẩm của hàm S. Có thể hiểu như sau:
Ta có dãy N bắt đầu bằng 0.
Phần tử tiếp theo của dãy N là sản phẩm của hàm tiết triển S đối với 0, ký hiệu là S(0). Theo quy tắc như thế, chúng ta sẽ có sản phẩm tiếp theo là S(S(0)), S(S(S(0)))... Và dãy N sẽ như thế này:
N = 0, S(0), S(S(0)), S(S(S(0))), ...
Các phép toán trong hệ số tự nhiên bao gồm phép Cộng và Nhân, được xây dựng như sau:
Phép cộng:
a + 0 = a
a + S(b) = S(a+b)
Phép nhân:
a . 0 = 0
a . S(b) = (a . b) + a
CHỨNG MINH 1 + 1 = 2
Trước khi sử dụng hệ tiên đề Peano để chứng minh: 1 + 1 = 2, xin nói rằng đây không phải là cách duy nhất. Trên thực tế, còn có những cách khác để giải quyết vấn đề này:
1. Định danh/Định nghĩa: Không phải chứng minh mà sử dụng việc gán định nghĩa. Tức là 2 := 1 + 1. Ở đây ta sử dụng ký hiệu "2" để gán cho kết quả của phép biến đổi "1 + 1". Cách này sẽ trả lời cho một câu hỏi phát sinh: Tại sao " 1 + 1 " lại " = 2" chứ không phải " = 3"? Với việc gán định nghĩa này, thì bằng 3, 4, 5, hay 6 đều được, nhưng chúng không có ý nghĩa về mặt toán học.
Lý do: Nếu như sử dụng việc định nghĩa, thì "1 + 1 = 2" gần với ngôn ngữ tự nhiên hơn là ngôn ngữ Toán học. Khi đó thì hoàn toàn có thể hiểu rằng "phép thêm vào giữa một với một cho ra một kết quả, kết quả đó được đặt tên là hai".
Và vì như vậy, với một biến đổi khác, chúng ta lại phải lặp lại quy trình định danh/định nghĩa trên. Trong khi đó, nếu như "1", "2" , "+", "=" là các đối tượng Toán học, thì chúng còn phải có thể sử dụng để thực hiện các phép suy luận logic và thực hiện chứng minh toán học nữa. Mà để thực hiện được các phép suy luận logic và thực hiện chứng minh toán học thì chúng ta cần phải đặt ra các "điều luật cơ bản" về các yếu tố trong một hệ thống logic (Toán học là một dạng hệ thống logic). Các điều luật cơ bản này được gọi là hệ tiên đề/tiên đề.
Chúng ta công nhận hệ tiên đề không phải vì chúng tuyệt đối đúng, mà vì chúng là những điều luật cơ bản để từ đó chúng ta phát triển được các phép biến đổi khác trong hệ thống sử dụng những điều luật này. Có thể so sánh việc này với chơi cờ vua vậy. Kỳ thủ sẽ không hỏi "Tại sao lại có luật này?" mà sẽ chỉ sử dụng các điều luật đó để đạt được những kết quả mà hệ thống luật đấy cho phép.
2. Cách chứng minh của Alfred North Whitehead và Bertrand Russell trong cuốn "Principia Mathematica"
Nhiều người nói rằng đây là cách chứng minh 300 trang, nhưng thực ra thì không phải. Chỉ có một phần trong cuốn sách này được dùng để chứng minh 1 + 1 = 2 thôi. Và đấy là trang này:

$[IMG]$
Trong đó, mệnh đề " 1 + 1 = 2" được viết lại bằng ngôn ngữ logic như sau:

$[IMG]$
Và nếu viết bằng ngôn ngữ logic hiện đại hơn chút thì sẽ thế này:
∗54.43. ⊢((α,β∈1) ⊃ ((α∩β=Λ) ≡ (α∪β∈2)))
Tôi sẽ không giải thích cách chứng minh này ở đây mà sẽ để dành cho một bài viết khác, khi tôi thực sự có thể hiểu hết những gì viết ở mấy dòng trên.
*
Bây giờ quay trở lại với chứng minh "1 + 1 = 2" thông qua hệ tiên đề Peano. Để tóm gọn lại, với một hàm tiết triển đơn trị S, quan hệ bằng nhau và phép cộng, ta có:
(1) Với mỗi m và n, S(m) = S(n) khi và chỉ khi m = n
(2) Với tập hợp số tự nhiên N là tập hợp đóng dưới hàm S, với mỗi a nằm trong tập hợp N thì hoặc là a = 0, hoặc là a = S(b) với b cũng nằm trong N
(3) Không có tồn tại số n nào trong tập N mà S(n) = 0
(4) Phép cộng trong tập N được biểu diễn như sau:
a + 0 = a
a + S(b) = S(a + b)
Nếu như coi S(0) = 1 và S(1) = 2. Chúng ta sẽ cần phải chứng minh: S(0) + S(0) = S(1)
Ta có:
Từ (4):
S(0) + S(0) = S(S(0) + 0) (5)
S(0) + 0 = S(0) (6)
Từ (1) và (5):
S(S(0) + 0) = S(S(0)) (7)
Từ (5) và (7):
S(0) + S(0) = S(S(0)) hay 1 + 1 = 2 (điều phải chứng minh)

===============
Giới thiệu:

Cả một thời gian dài trong đời HS phổ thông lớp 1 – lớp 9, chúng ta công nhận

1 + 1 = 2 như một sự thật hiển nhiên; Cũng như công nhận các định nghĩa phép cộng, phép nhân, chia…trong số tự nhiên N theo sách giao khoa. Nhưng khi đã có các kiến thức sơ đẳng về logic toán, l‎í thuyết tập hợp, ánh xạ và với những ai yêu toán học lại có chút “đầu óc” tư duy toán học thì không thể “bằng lòng” với “điều hiển nhiên” ấy ! Nhất là khi tiếp cận với “nghịch lí 1 + 1 = 1” với các dẫn dụ:

1 giọt nước thêm vào 1 ao nước vẫn là 1 ao nước;

1 hạt cát + 1 đống cát = 1 đống cát

1 tập hợp hữu hạn + 1 tập hợp vô hạn = 1 tập hợp vô hạn.

Tìm hiểu thêm, chúng ta biết rằng : 1 + 1 = 2 chỉ có thể chứng minh được chặt chẽ thành định lí [1] sau khi nhà toán học Giuseppe Peano (1891) đưa ra hệ tiên đề mang tên ông: “hệ tiên đề Peano” [2]

Tài liệu này sưu tầm một số thông tin liên quan định lí và tiên đề nói trên

1/ Chứng minh 1+1=2 như thế nào ?

Để CM dịnh lí này ta phải đi về tận cội nguồn sâu xa của toán học.
Tại sao có 1+1=2 ? Đó chẳng qua là do sự nhận thức trực quan của con người khi thấy có 1 con bò đẻ thêm 1 con bò người ta được 2 con bò.
Nhưng chúng ta lập luận theo “kiểu toán học”: Cộng một ( +1) vào một số trong tập số tự nhiên ( N) chính là phép biểu hiện số liền sau. Như vậy, 1+1 nghĩa là số liền sau số 1, n+1 nghĩa là số liền sau số n. Cách hiểu vấn đề như vậy cũng còn rất trực quan; tiếp theo ta phải lập luận:

Hệ tiên đề Peano
Nhà toán học Giuseppe Peano (1858 - 1932) [3] đã đưa ra hệ tiên đề Peano gồm 4 tiên đề như sau:
Có một tập hợp N gồm các tính chất sau:
1/ Với mỗi phần tử x trong N có một phần tử, ký hiệu là S(x), trong N được gọi là phần tử kế tiếp của x
2/ Cho x và y trong N sao cho, nếu S(x)=S(y) thì x = y
3/ Có một phần tử trong N ký hiệu là 1 sao cho 1 không là phần tử kế tiếp của một tử nào trong N (nghĩa là không tồn tại x sao cho S(x)=1 )
4/ Cho U là tập con của N sao cho 1 thuộc U và S(x) thuộc U  x thuộc U. Lúc đó U = N

Ta thấy rằng, các phép cộng, phép nhân trên N cũng chỉ là một ánh xạ :

NxN -> N
Với các định nghĩa trên của Peano, ta có thể xác định:

2 là S(1), 3 là S(2), 4 là S(3) .........
Ta cũng có thể xác định phép cộng trên N như sau: n+1 = S(n), n+2=S(n+1)
Ta cũng có thể xác định phép nhân trên N như sau: 1.n = n, 2.n = n+n, ....

Và do đó việc 1+1=2 là do từ các tiên đề Peano mà có.

Lưu ý:

*Từ các tiên đề Peano, định nghĩa phép công, phép nhân, ta có thể CM các tính chất giao hoán, phân phối. Và đặc biệt, quan trọng nhất là: Tập N được định nghĩa như trên là duy nhất theo nghĩa song ánh (Nếp tồn tại tập M thỏa mãn các tiên đề Peano, thì tồn tại song ánh từ N vào M) .

* Các kí tự số 1, 2, 3, …n biểu diễn trên đây đều là trong hệ số đếm thập phân; nếu bểu diễn trong hệ nhị phân thì là 1 + 1 = 10.

* Trong phép cộng số học phổ thông, các số không có đơn vị đính kèm, chúng đã được khái quát hóa => Các sách GK phổ thông về toán khi giải về cộng Thí dụ số bò thì ghi ra ngoài: 1, 2 , 3 (con bò) => không thể cộng: 1 con bò + 1 đuôi bò….

2/ Hiểu thêm về “nghịch lí 1 + 1 = 1”

Với các dẫn dụ:

1 giọt nước thêm vào 1 ao nước vẫn là 1 ao nước;

1 hạt cát + 1 đống cát = 1 đống cát

Rõ ràng 1 gọt với 1 ao (nước); 1 hạt với 1 đống (cát) không thuộc tập số tự nhiên, không bị ràng buộc bởi tiên đề Peano. Nếu hiểu trong lĩnh vực số và các định nghĩa phép cộng của hệ tiên đề Peano thì đây là các “ngụy lí”.

Riêng nghịch lí: 1 tập hợp hữu hạn + 1 tập hợp vô hạn = 1 tập hợp vô hạn lại là nghịch lí hay, nhưng không nằm trong lí thuyêt số học sơ cấp .

3/ Tham khảo [1]

Việc chứng minh bắt đầu từ Peano Postulates (hệ tiên đề Peano), với định nghĩa số tự nhiên N. N là tập nhỏ nhất thoả hệ tiên đề : (P=tiên đề peano)

Khi đó ta phải chứng minh đệ quy phép cộng:
Định nghĩa: cho a và b thuộc N. nếu b = 1 thì a+b=a’
(dùng P1 và P2): nếu b khác 1 thì cho c’ = b, với c thuộc N
(dùng P4) : và định nghĩa a+b = (a+c’ ) thì phải có định nghĩa 2:
Định nghĩa 2: 2=1’
2 thuộc N theo P1, P2, và định nghĩa 2
Định lí: 1+1=2
Sử dụng phần đầu tiên của định nghĩa và với a = b = 1 thì

1 + 1 = 1’  (đpcm)

Chú ý: với công thức thay thế lần lượt của Peano Postulates, khi thay 1 bằng 0 vào P1, P3, P4 và P5 khi đó phải thay đổi định nghĩa phép cộng thành:
Định nghĩa: cho a và b thuộc N. nếu b =0, thì định nghĩa a +b = a
Nếu b khác 0, với c thuộc N, và định nghĩa a + b =( a+ c)’
Cũng phải định nghĩa 1 = 0’, và 2= 1’. Khi đó dẫn chứng cho định lí trên có một sự khác biệt nhỏ:
Chứng minh: dùng phần thứ hai của định nghĩa của phép cộng :
1 + 1 = (1+0)’
Rồi dùng phần đầu của định nghĩa phép cộng về tổng
1 +1 = (1)’ = 2 (đpcm)
Click to expand...

Cơ chưởng bị thất tình hay sao vậy

xDarkxAngelx · 7/4/24

wubim nói: ↑

Đầu tiên phải nói rằng, 1 + 1 = 2 không phải tiên đề như nhiều người vẫn nghĩ. Trên thực tế 1 + 1 = 2 là một mệnh đề có thể chứng minh được nếu như có các điều kiện đi trước (tiên đề) quy định những khái niệm trong mệnh đề này. Vì vậy trước khi đi vào việc đấy thì ta cần tìm hiểu một vài khái niệm trước.
1- Số tự nhiên
"Chúa tạo ra số nguyên, tất cả những thứ còn lại là sản phẩm của con người" - Leopold Kronecker
Để nguồn gốc của số tự nhiên là một chủ đề dài dòng, nhưng chúng ta có thể hiểu rằng số tự nhiên là một hình thức đếm các sự vật tự nhiên của con người. Việc đếm này có thể xuất phát từ những quy luật trong sự quan sát các sự vật tự nhiên. Nếu như sử dụng ngôn ngữ tự nhiên, chúng ta có thể hiểu về quy luật đếm này thông qua ví dụ như sau:
- Một là số lượng mũi mà một con mèo bình thường, khỏe mạnh trong tự nhiên có.
- Hai là số lượng mắt mà một con mèo bình thường, khỏe mạnh trong tự nhiên có.
(Ở đây không đi sâu vào việc từ nguyên của các khái niệm mũi, mắt, mèo... mà chỉ dùng ví dụ này để giải thích cho việc quan sát tự nhiên. Các khái niệm trên đều có thể quy định theo cách khác, nhưng đấy là việc của ngôn ngữ học và xin không bàn trong bài viết này.)
Việc đếm này hoàn toàn mang tính chất định lượng, không có tính định tính. Có nghĩa là trong khi đếm, chúng ta đã mặc định rằng những vật được đếm có cùng "tính chất" như nhau. Việc quy định tính chất này, khi đặt ngoài phạm trù Toán học, thì có thể rất linh hoạt, nhưng khi đưa vào trong Toán học thì buộc phải có sự đồng nhất. Giả sử chúng ta đếm một rổ quả, thì rổ đó có thể có 5 quả cam, nhưng cũng có thể có 3 quả cam và 2 quả chanh. Nếu như chúng ta quy định rằng việc đếm dành cho riêng tính chất "cam" của quả và "chanh" của quả thì chúng ta sẽ có 3 quả cam và 2 quả chanh nhưng nếu như chúng ta quy tất cả những vật trong rổ đều cùng một tính chất "quả" thì chúng ta vẫn sẽ có 5 "quả". Trong toán học thuần túy, việc đếm được mặc định là không có các tính chất trên, hay là mặc định đồng nhất về tính chất (cho công bằng trong những trường hợp trao đổi chẳng hạn). Và để biểu thị cho việc định tính này, lịch sử loài người chứng kiến các phương thức khác nhau của các nền văn minh/dân tộc khác nhau:
- Người Ai Cập áp dụng hệ thống chữ tượng hình của họ cho việc đếm:

- Người La Mã sử dụng hệ thống số La Mã:

- Và hệ thống số Ả-rập được sử dụng rộng rãi trong Toán học hiện đại:

Các chữ số hiện tại chúng ta dùng như: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 chẳng qua chỉ là một loại ký hiệu nhằm biểu thị việc đếm mà thôi. Tuy nhiên, khi nhìn ở khía cạnh Toán học thì chúng không chỉ đơn thuần là đếm nữa mà chúng trở thành đối tượng Toán học (mathemetical object). Và khi đã là đối tượng Toán học, thì ngoài chức năng đếm, chúng còn phải đảm bảo thêm hai điều:
- Chúng có thể được sử dụng để thực hiện các suy diễn logic
- Chúng có thể được sử dụng để thực hiện các chứng minh trong toán học
Có một câu hỏi là: liệu chúng ta có thể sử dụng các ký hiệu khác thay cho 0, 1, 2, 3... hay không thì câu trả lời là CÓ. Tuy nhiên việc sử dụng các ký hiệu khác không có tính ứng dụng, do các quy chuẩn như quy chuẩn về ký hiệu số tự nhiên đã được chấp nhận và sử dụng quá lâu, ngoài ra còn một điểm quan trọng nữa là chúng phục vụ tốt mục đích của chúng.
2- Các phép toán số học sơ cấp (Elementary Arithmetic) và tiên đề Peano (Peano Anxioms)
Một trong những nhánh đầu tiên của Toán học cổ đại là Số học sơ cấp, với sự ra đời của các phép toán sơ cấp. Phép toán là những phép tính lấy đầu vào là hai hay nhiều toán hạng (hoặc phần tử) để đưa ra một ra trị đầu ra. Các phép toán của số học sơ cấp bao gồm:
- Phép cộng: Biểu hiện việc thêm vào, được ký hiệu bằng "+"
- Phép trừ: Biểu hiện việc giảm đi, và là đảo ngược của phép cộng, được ký hiệu bằng "-"
- Phép nhân: Biểu hiện việc nhân bản (scaling operation), cho phép hiển thị phép cộng nhiều toán hạng giống nhau thông qua số lượng toán hạng và ký hiệu "x"
- Phép chia: Là phép đảo ngược của phép nhân, và được ký hiệu là ":"
Vào thế kỷ thứ 19, nhà toán học Giuseppe Peano (27 tháng 8 năm 1858 – 20 tháng 4 năm 1932) đã sử dụng các khái niệm về số tự nhiên và phép toán số học sơ cấp để đưa ra các định đề nhằm xác định các tính chất của số tự nhiên, gọi chung là hệ tiên đề Peano. Hệ tiên đề này bao gồm 9 định đề :
Định đề đầu tiên nói rằng hằng số 0 là một số tự nhiên:
1. 0 là một số tự nhiên
Bốn định đề tiếp theo mô tả quan hệ bằng nhau
2. Với mỗi số tự nhiên x, x = x. Quan hệ bằng nhau có tính phản thân (reflexive)
3. Với tất cả các số tự nhiên x và y, nếu như x = y thì y = x. Quan hệ bằng nhau có tính đối xứng
4. Với tất cả các số tự nhiên x, y, và z, nếu như x = y thì y = z và x = z. Quan hệ bằng nhau có tính bắc cầu
5. Với mỗi a và b, nếu b là một số tự nhiên và a = b thì a cũng là số tự nhiên. Với phép bằng nhau, tập hợp số tự nhiên là một hệ đóng.
(Một tập hợp đóng trong điều kiện phép toán a là khi thực hiện phép toán a lên các phần tử của tập hợp ta chỉ được kết quả là một phần tử của tập hợp đấy)
Các định đề còn lại định hình tính chất phép toán trong tập hợp số tự nhiên. Nếu coi tập hợp số tự nhiên là đóng trong điều kiện hàm tiết triển đơn trị S:
(Hàm tiết triển (successor function) là hàm cho phép đưa ra kết quả tiếp theo trong dãy , còn Hàm đơn trị (single-valued) là hàm mà qua hàm, với mỗi phần tử thuộc tập nguồn chỉ tương ứng với một phần tử duy nhất trong tập đích.)
6. Với mỗi số tự nhiên n, S(n) là một số tự nhiên. Tập hợp số tự nhiên là tập hợp đóng đối với điều kiện hàm S.
7. Với mỗi số tự nhiên m và n, m = n khi và chỉ khi S(m) = S(n). S là một hàm đơn ánh
8. Với mỗi số tự nhiên n, S(n) = 0 là sai. Không có số tự nhiên nào trước 0.
9. Nếu K là một tập hợp mà:

0 thuộc K

Với mỗi số tự nhiên n, n thuộc K mà S(n) cũng thuộc K thì K chứa tất cả các số tự nhiên

Nếu như chiếu theo hệ định đề Peano, chúng ta có thể hiểu rằng, 0 là số tự nhiên đầu tiên, và tất cả các số tự nhiên khác chỉ là sản phẩm của hàm S. Có thể hiểu như sau:
Ta có dãy N bắt đầu bằng 0.
Phần tử tiếp theo của dãy N là sản phẩm của hàm tiết triển S đối với 0, ký hiệu là S(0). Theo quy tắc như thế, chúng ta sẽ có sản phẩm tiếp theo là S(S(0)), S(S(S(0)))... Và dãy N sẽ như thế này:
N = 0, S(0), S(S(0)), S(S(S(0))), ...
Các phép toán trong hệ số tự nhiên bao gồm phép Cộng và Nhân, được xây dựng như sau:
Phép cộng:
a + 0 = a
a + S(b) = S(a+b)
Phép nhân:
a . 0 = 0
a . S(b) = (a . b) + a
CHỨNG MINH 1 + 1 = 2
Trước khi sử dụng hệ tiên đề Peano để chứng minh: 1 + 1 = 2, xin nói rằng đây không phải là cách duy nhất. Trên thực tế, còn có những cách khác để giải quyết vấn đề này:
1. Định danh/Định nghĩa: Không phải chứng minh mà sử dụng việc gán định nghĩa. Tức là 2 := 1 + 1. Ở đây ta sử dụng ký hiệu "2" để gán cho kết quả của phép biến đổi "1 + 1". Cách này sẽ trả lời cho một câu hỏi phát sinh: Tại sao " 1 + 1 " lại " = 2" chứ không phải " = 3"? Với việc gán định nghĩa này, thì bằng 3, 4, 5, hay 6 đều được, nhưng chúng không có ý nghĩa về mặt toán học.
Lý do: Nếu như sử dụng việc định nghĩa, thì "1 + 1 = 2" gần với ngôn ngữ tự nhiên hơn là ngôn ngữ Toán học. Khi đó thì hoàn toàn có thể hiểu rằng "phép thêm vào giữa một với một cho ra một kết quả, kết quả đó được đặt tên là hai".
Và vì như vậy, với một biến đổi khác, chúng ta lại phải lặp lại quy trình định danh/định nghĩa trên. Trong khi đó, nếu như "1", "2" , "+", "=" là các đối tượng Toán học, thì chúng còn phải có thể sử dụng để thực hiện các phép suy luận logic và thực hiện chứng minh toán học nữa. Mà để thực hiện được các phép suy luận logic và thực hiện chứng minh toán học thì chúng ta cần phải đặt ra các "điều luật cơ bản" về các yếu tố trong một hệ thống logic (Toán học là một dạng hệ thống logic). Các điều luật cơ bản này được gọi là hệ tiên đề/tiên đề.
Chúng ta công nhận hệ tiên đề không phải vì chúng tuyệt đối đúng, mà vì chúng là những điều luật cơ bản để từ đó chúng ta phát triển được các phép biến đổi khác trong hệ thống sử dụng những điều luật này. Có thể so sánh việc này với chơi cờ vua vậy. Kỳ thủ sẽ không hỏi "Tại sao lại có luật này?" mà sẽ chỉ sử dụng các điều luật đó để đạt được những kết quả mà hệ thống luật đấy cho phép.
2. Cách chứng minh của Alfred North Whitehead và Bertrand Russell trong cuốn "Principia Mathematica"
Nhiều người nói rằng đây là cách chứng minh 300 trang, nhưng thực ra thì không phải. Chỉ có một phần trong cuốn sách này được dùng để chứng minh 1 + 1 = 2 thôi. Và đấy là trang này:

$[IMG]$
Trong đó, mệnh đề " 1 + 1 = 2" được viết lại bằng ngôn ngữ logic như sau:

$[IMG]$
Và nếu viết bằng ngôn ngữ logic hiện đại hơn chút thì sẽ thế này:
∗54.43. ⊢((α,β∈1) ⊃ ((α∩β=Λ) ≡ (α∪β∈2)))
Tôi sẽ không giải thích cách chứng minh này ở đây mà sẽ để dành cho một bài viết khác, khi tôi thực sự có thể hiểu hết những gì viết ở mấy dòng trên.
*
Bây giờ quay trở lại với chứng minh "1 + 1 = 2" thông qua hệ tiên đề Peano. Để tóm gọn lại, với một hàm tiết triển đơn trị S, quan hệ bằng nhau và phép cộng, ta có:
(1) Với mỗi m và n, S(m) = S(n) khi và chỉ khi m = n
(2) Với tập hợp số tự nhiên N là tập hợp đóng dưới hàm S, với mỗi a nằm trong tập hợp N thì hoặc là a = 0, hoặc là a = S(b) với b cũng nằm trong N
(3) Không có tồn tại số n nào trong tập N mà S(n) = 0
(4) Phép cộng trong tập N được biểu diễn như sau:
a + 0 = a
a + S(b) = S(a + b)
Nếu như coi S(0) = 1 và S(1) = 2. Chúng ta sẽ cần phải chứng minh: S(0) + S(0) = S(1)
Ta có:
Từ (4):
S(0) + S(0) = S(S(0) + 0) (5)
S(0) + 0 = S(0) (6)
Từ (1) và (5):
S(S(0) + 0) = S(S(0)) (7)
Từ (5) và (7):
S(0) + S(0) = S(S(0)) hay 1 + 1 = 2 (điều phải chứng minh)

===============
Giới thiệu:

Cả một thời gian dài trong đời HS phổ thông lớp 1 – lớp 9, chúng ta công nhận

1 + 1 = 2 như một sự thật hiển nhiên; Cũng như công nhận các định nghĩa phép cộng, phép nhân, chia…trong số tự nhiên N theo sách giao khoa. Nhưng khi đã có các kiến thức sơ đẳng về logic toán, l‎í thuyết tập hợp, ánh xạ và với những ai yêu toán học lại có chút “đầu óc” tư duy toán học thì không thể “bằng lòng” với “điều hiển nhiên” ấy ! Nhất là khi tiếp cận với “nghịch lí 1 + 1 = 1” với các dẫn dụ:

1 giọt nước thêm vào 1 ao nước vẫn là 1 ao nước;

1 hạt cát + 1 đống cát = 1 đống cát

1 tập hợp hữu hạn + 1 tập hợp vô hạn = 1 tập hợp vô hạn.

Tìm hiểu thêm, chúng ta biết rằng : 1 + 1 = 2 chỉ có thể chứng minh được chặt chẽ thành định lí [1] sau khi nhà toán học Giuseppe Peano (1891) đưa ra hệ tiên đề mang tên ông: “hệ tiên đề Peano” [2]

Tài liệu này sưu tầm một số thông tin liên quan định lí và tiên đề nói trên

1/ Chứng minh 1+1=2 như thế nào ?

Để CM dịnh lí này ta phải đi về tận cội nguồn sâu xa của toán học.
Tại sao có 1+1=2 ? Đó chẳng qua là do sự nhận thức trực quan của con người khi thấy có 1 con bò đẻ thêm 1 con bò người ta được 2 con bò.
Nhưng chúng ta lập luận theo “kiểu toán học”: Cộng một ( +1) vào một số trong tập số tự nhiên ( N) chính là phép biểu hiện số liền sau. Như vậy, 1+1 nghĩa là số liền sau số 1, n+1 nghĩa là số liền sau số n. Cách hiểu vấn đề như vậy cũng còn rất trực quan; tiếp theo ta phải lập luận:

Hệ tiên đề Peano
Nhà toán học Giuseppe Peano (1858 - 1932) [3] đã đưa ra hệ tiên đề Peano gồm 4 tiên đề như sau:
Có một tập hợp N gồm các tính chất sau:
1/ Với mỗi phần tử x trong N có một phần tử, ký hiệu là S(x), trong N được gọi là phần tử kế tiếp của x
2/ Cho x và y trong N sao cho, nếu S(x)=S(y) thì x = y
3/ Có một phần tử trong N ký hiệu là 1 sao cho 1 không là phần tử kế tiếp của một tử nào trong N (nghĩa là không tồn tại x sao cho S(x)=1 )
4/ Cho U là tập con của N sao cho 1 thuộc U và S(x) thuộc U  x thuộc U. Lúc đó U = N

Ta thấy rằng, các phép cộng, phép nhân trên N cũng chỉ là một ánh xạ :

NxN -> N
Với các định nghĩa trên của Peano, ta có thể xác định:

2 là S(1), 3 là S(2), 4 là S(3) .........
Ta cũng có thể xác định phép cộng trên N như sau: n+1 = S(n), n+2=S(n+1)
Ta cũng có thể xác định phép nhân trên N như sau: 1.n = n, 2.n = n+n, ....

Và do đó việc 1+1=2 là do từ các tiên đề Peano mà có.

Lưu ý:

*Từ các tiên đề Peano, định nghĩa phép công, phép nhân, ta có thể CM các tính chất giao hoán, phân phối. Và đặc biệt, quan trọng nhất là: Tập N được định nghĩa như trên là duy nhất theo nghĩa song ánh (Nếp tồn tại tập M thỏa mãn các tiên đề Peano, thì tồn tại song ánh từ N vào M) .

* Các kí tự số 1, 2, 3, …n biểu diễn trên đây đều là trong hệ số đếm thập phân; nếu bểu diễn trong hệ nhị phân thì là 1 + 1 = 10.

* Trong phép cộng số học phổ thông, các số không có đơn vị đính kèm, chúng đã được khái quát hóa => Các sách GK phổ thông về toán khi giải về cộng Thí dụ số bò thì ghi ra ngoài: 1, 2 , 3 (con bò) => không thể cộng: 1 con bò + 1 đuôi bò….

2/ Hiểu thêm về “nghịch lí 1 + 1 = 1”

Với các dẫn dụ:

1 giọt nước thêm vào 1 ao nước vẫn là 1 ao nước;

1 hạt cát + 1 đống cát = 1 đống cát

Rõ ràng 1 gọt với 1 ao (nước); 1 hạt với 1 đống (cát) không thuộc tập số tự nhiên, không bị ràng buộc bởi tiên đề Peano. Nếu hiểu trong lĩnh vực số và các định nghĩa phép cộng của hệ tiên đề Peano thì đây là các “ngụy lí”.

Riêng nghịch lí: 1 tập hợp hữu hạn + 1 tập hợp vô hạn = 1 tập hợp vô hạn lại là nghịch lí hay, nhưng không nằm trong lí thuyêt số học sơ cấp .

3/ Tham khảo [1]

Việc chứng minh bắt đầu từ Peano Postulates (hệ tiên đề Peano), với định nghĩa số tự nhiên N. N là tập nhỏ nhất thoả hệ tiên đề : (P=tiên đề peano)

Khi đó ta phải chứng minh đệ quy phép cộng:
Định nghĩa: cho a và b thuộc N. nếu b = 1 thì a+b=a’
(dùng P1 và P2): nếu b khác 1 thì cho c’ = b, với c thuộc N
(dùng P4) : và định nghĩa a+b = (a+c’ ) thì phải có định nghĩa 2:
Định nghĩa 2: 2=1’
2 thuộc N theo P1, P2, và định nghĩa 2
Định lí: 1+1=2
Sử dụng phần đầu tiên của định nghĩa và với a = b = 1 thì

1 + 1 = 1’  (đpcm)

Chú ý: với công thức thay thế lần lượt của Peano Postulates, khi thay 1 bằng 0 vào P1, P3, P4 và P5 khi đó phải thay đổi định nghĩa phép cộng thành:
Định nghĩa: cho a và b thuộc N. nếu b =0, thì định nghĩa a +b = a
Nếu b khác 0, với c thuộc N, và định nghĩa a + b =( a+ c)’
Cũng phải định nghĩa 1 = 0’, và 2= 1’. Khi đó dẫn chứng cho định lí trên có một sự khác biệt nhỏ:
Chứng minh: dùng phần thứ hai của định nghĩa của phép cộng :
1 + 1 = (1+0)’
Rồi dùng phần đầu của định nghĩa phép cộng về tổng
1 +1 = (1)’ = 2 (đpcm)
Click to expand...

Giết

darkdragon91 · 7/4/24

wubim nói: ↑

Đầu tiên phải nói rằng, 1 + 1 = 2 không phải tiên đề như nhiều người vẫn nghĩ. Trên thực tế 1 + 1 = 2 là một mệnh đề có thể chứng minh được nếu như có các điều kiện đi trước (tiên đề) quy định những khái niệm trong mệnh đề này. Vì vậy trước khi đi vào việc đấy thì ta cần tìm hiểu một vài khái niệm trước.
1- Số tự nhiên
"Chúa tạo ra số nguyên, tất cả những thứ còn lại là sản phẩm của con người" - Leopold Kronecker
Để nguồn gốc của số tự nhiên là một chủ đề dài dòng, nhưng chúng ta có thể hiểu rằng số tự nhiên là một hình thức đếm các sự vật tự nhiên của con người. Việc đếm này có thể xuất phát từ những quy luật trong sự quan sát các sự vật tự nhiên. Nếu như sử dụng ngôn ngữ tự nhiên, chúng ta có thể hiểu về quy luật đếm này thông qua ví dụ như sau:
- Một là số lượng mũi mà một con mèo bình thường, khỏe mạnh trong tự nhiên có.
- Hai là số lượng mắt mà một con mèo bình thường, khỏe mạnh trong tự nhiên có.
(Ở đây không đi sâu vào việc từ nguyên của các khái niệm mũi, mắt, mèo... mà chỉ dùng ví dụ này để giải thích cho việc quan sát tự nhiên. Các khái niệm trên đều có thể quy định theo cách khác, nhưng đấy là việc của ngôn ngữ học và xin không bàn trong bài viết này.)
Việc đếm này hoàn toàn mang tính chất định lượng, không có tính định tính. Có nghĩa là trong khi đếm, chúng ta đã mặc định rằng những vật được đếm có cùng "tính chất" như nhau. Việc quy định tính chất này, khi đặt ngoài phạm trù Toán học, thì có thể rất linh hoạt, nhưng khi đưa vào trong Toán học thì buộc phải có sự đồng nhất. Giả sử chúng ta đếm một rổ quả, thì rổ đó có thể có 5 quả cam, nhưng cũng có thể có 3 quả cam và 2 quả chanh. Nếu như chúng ta quy định rằng việc đếm dành cho riêng tính chất "cam" của quả và "chanh" của quả thì chúng ta sẽ có 3 quả cam và 2 quả chanh nhưng nếu như chúng ta quy tất cả những vật trong rổ đều cùng một tính chất "quả" thì chúng ta vẫn sẽ có 5 "quả". Trong toán học thuần túy, việc đếm được mặc định là không có các tính chất trên, hay là mặc định đồng nhất về tính chất (cho công bằng trong những trường hợp trao đổi chẳng hạn). Và để biểu thị cho việc định tính này, lịch sử loài người chứng kiến các phương thức khác nhau của các nền văn minh/dân tộc khác nhau:
- Người Ai Cập áp dụng hệ thống chữ tượng hình của họ cho việc đếm:

- Người La Mã sử dụng hệ thống số La Mã:

- Và hệ thống số Ả-rập được sử dụng rộng rãi trong Toán học hiện đại:

Các chữ số hiện tại chúng ta dùng như: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 chẳng qua chỉ là một loại ký hiệu nhằm biểu thị việc đếm mà thôi. Tuy nhiên, khi nhìn ở khía cạnh Toán học thì chúng không chỉ đơn thuần là đếm nữa mà chúng trở thành đối tượng Toán học (mathemetical object). Và khi đã là đối tượng Toán học, thì ngoài chức năng đếm, chúng còn phải đảm bảo thêm hai điều:
- Chúng có thể được sử dụng để thực hiện các suy diễn logic
- Chúng có thể được sử dụng để thực hiện các chứng minh trong toán học
Có một câu hỏi là: liệu chúng ta có thể sử dụng các ký hiệu khác thay cho 0, 1, 2, 3... hay không thì câu trả lời là CÓ. Tuy nhiên việc sử dụng các ký hiệu khác không có tính ứng dụng, do các quy chuẩn như quy chuẩn về ký hiệu số tự nhiên đã được chấp nhận và sử dụng quá lâu, ngoài ra còn một điểm quan trọng nữa là chúng phục vụ tốt mục đích của chúng.
2- Các phép toán số học sơ cấp (Elementary Arithmetic) và tiên đề Peano (Peano Anxioms)
Một trong những nhánh đầu tiên của Toán học cổ đại là Số học sơ cấp, với sự ra đời của các phép toán sơ cấp. Phép toán là những phép tính lấy đầu vào là hai hay nhiều toán hạng (hoặc phần tử) để đưa ra một ra trị đầu ra. Các phép toán của số học sơ cấp bao gồm:
- Phép cộng: Biểu hiện việc thêm vào, được ký hiệu bằng "+"
- Phép trừ: Biểu hiện việc giảm đi, và là đảo ngược của phép cộng, được ký hiệu bằng "-"
- Phép nhân: Biểu hiện việc nhân bản (scaling operation), cho phép hiển thị phép cộng nhiều toán hạng giống nhau thông qua số lượng toán hạng và ký hiệu "x"
- Phép chia: Là phép đảo ngược của phép nhân, và được ký hiệu là ":"
Vào thế kỷ thứ 19, nhà toán học Giuseppe Peano (27 tháng 8 năm 1858 – 20 tháng 4 năm 1932) đã sử dụng các khái niệm về số tự nhiên và phép toán số học sơ cấp để đưa ra các định đề nhằm xác định các tính chất của số tự nhiên, gọi chung là hệ tiên đề Peano. Hệ tiên đề này bao gồm 9 định đề :
Định đề đầu tiên nói rằng hằng số 0 là một số tự nhiên:
1. 0 là một số tự nhiên
Bốn định đề tiếp theo mô tả quan hệ bằng nhau
2. Với mỗi số tự nhiên x, x = x. Quan hệ bằng nhau có tính phản thân (reflexive)
3. Với tất cả các số tự nhiên x và y, nếu như x = y thì y = x. Quan hệ bằng nhau có tính đối xứng
4. Với tất cả các số tự nhiên x, y, và z, nếu như x = y thì y = z và x = z. Quan hệ bằng nhau có tính bắc cầu
5. Với mỗi a và b, nếu b là một số tự nhiên và a = b thì a cũng là số tự nhiên. Với phép bằng nhau, tập hợp số tự nhiên là một hệ đóng.
(Một tập hợp đóng trong điều kiện phép toán a là khi thực hiện phép toán a lên các phần tử của tập hợp ta chỉ được kết quả là một phần tử của tập hợp đấy)
Các định đề còn lại định hình tính chất phép toán trong tập hợp số tự nhiên. Nếu coi tập hợp số tự nhiên là đóng trong điều kiện hàm tiết triển đơn trị S:
(Hàm tiết triển (successor function) là hàm cho phép đưa ra kết quả tiếp theo trong dãy , còn Hàm đơn trị (single-valued) là hàm mà qua hàm, với mỗi phần tử thuộc tập nguồn chỉ tương ứng với một phần tử duy nhất trong tập đích.)
6. Với mỗi số tự nhiên n, S(n) là một số tự nhiên. Tập hợp số tự nhiên là tập hợp đóng đối với điều kiện hàm S.
7. Với mỗi số tự nhiên m và n, m = n khi và chỉ khi S(m) = S(n). S là một hàm đơn ánh
8. Với mỗi số tự nhiên n, S(n) = 0 là sai. Không có số tự nhiên nào trước 0.
9. Nếu K là một tập hợp mà:

0 thuộc K

Với mỗi số tự nhiên n, n thuộc K mà S(n) cũng thuộc K thì K chứa tất cả các số tự nhiên

Nếu như chiếu theo hệ định đề Peano, chúng ta có thể hiểu rằng, 0 là số tự nhiên đầu tiên, và tất cả các số tự nhiên khác chỉ là sản phẩm của hàm S. Có thể hiểu như sau:
Ta có dãy N bắt đầu bằng 0.
Phần tử tiếp theo của dãy N là sản phẩm của hàm tiết triển S đối với 0, ký hiệu là S(0). Theo quy tắc như thế, chúng ta sẽ có sản phẩm tiếp theo là S(S(0)), S(S(S(0)))... Và dãy N sẽ như thế này:
N = 0, S(0), S(S(0)), S(S(S(0))), ...
Các phép toán trong hệ số tự nhiên bao gồm phép Cộng và Nhân, được xây dựng như sau:
Phép cộng:
a + 0 = a
a + S(b) = S(a+b)
Phép nhân:
a . 0 = 0
a . S(b) = (a . b) + a
CHỨNG MINH 1 + 1 = 2
Trước khi sử dụng hệ tiên đề Peano để chứng minh: 1 + 1 = 2, xin nói rằng đây không phải là cách duy nhất. Trên thực tế, còn có những cách khác để giải quyết vấn đề này:
1. Định danh/Định nghĩa: Không phải chứng minh mà sử dụng việc gán định nghĩa. Tức là 2 := 1 + 1. Ở đây ta sử dụng ký hiệu "2" để gán cho kết quả của phép biến đổi "1 + 1". Cách này sẽ trả lời cho một câu hỏi phát sinh: Tại sao " 1 + 1 " lại " = 2" chứ không phải " = 3"? Với việc gán định nghĩa này, thì bằng 3, 4, 5, hay 6 đều được, nhưng chúng không có ý nghĩa về mặt toán học.
Lý do: Nếu như sử dụng việc định nghĩa, thì "1 + 1 = 2" gần với ngôn ngữ tự nhiên hơn là ngôn ngữ Toán học. Khi đó thì hoàn toàn có thể hiểu rằng "phép thêm vào giữa một với một cho ra một kết quả, kết quả đó được đặt tên là hai".
Và vì như vậy, với một biến đổi khác, chúng ta lại phải lặp lại quy trình định danh/định nghĩa trên. Trong khi đó, nếu như "1", "2" , "+", "=" là các đối tượng Toán học, thì chúng còn phải có thể sử dụng để thực hiện các phép suy luận logic và thực hiện chứng minh toán học nữa. Mà để thực hiện được các phép suy luận logic và thực hiện chứng minh toán học thì chúng ta cần phải đặt ra các "điều luật cơ bản" về các yếu tố trong một hệ thống logic (Toán học là một dạng hệ thống logic). Các điều luật cơ bản này được gọi là hệ tiên đề/tiên đề.
Chúng ta công nhận hệ tiên đề không phải vì chúng tuyệt đối đúng, mà vì chúng là những điều luật cơ bản để từ đó chúng ta phát triển được các phép biến đổi khác trong hệ thống sử dụng những điều luật này. Có thể so sánh việc này với chơi cờ vua vậy. Kỳ thủ sẽ không hỏi "Tại sao lại có luật này?" mà sẽ chỉ sử dụng các điều luật đó để đạt được những kết quả mà hệ thống luật đấy cho phép.
2. Cách chứng minh của Alfred North Whitehead và Bertrand Russell trong cuốn "Principia Mathematica"
Nhiều người nói rằng đây là cách chứng minh 300 trang, nhưng thực ra thì không phải. Chỉ có một phần trong cuốn sách này được dùng để chứng minh 1 + 1 = 2 thôi. Và đấy là trang này:

$[IMG]$
Trong đó, mệnh đề " 1 + 1 = 2" được viết lại bằng ngôn ngữ logic như sau:

$[IMG]$
Và nếu viết bằng ngôn ngữ logic hiện đại hơn chút thì sẽ thế này:
∗54.43. ⊢((α,β∈1) ⊃ ((α∩β=Λ) ≡ (α∪β∈2)))
Tôi sẽ không giải thích cách chứng minh này ở đây mà sẽ để dành cho một bài viết khác, khi tôi thực sự có thể hiểu hết những gì viết ở mấy dòng trên.
*
Bây giờ quay trở lại với chứng minh "1 + 1 = 2" thông qua hệ tiên đề Peano. Để tóm gọn lại, với một hàm tiết triển đơn trị S, quan hệ bằng nhau và phép cộng, ta có:
(1) Với mỗi m và n, S(m) = S(n) khi và chỉ khi m = n
(2) Với tập hợp số tự nhiên N là tập hợp đóng dưới hàm S, với mỗi a nằm trong tập hợp N thì hoặc là a = 0, hoặc là a = S(b) với b cũng nằm trong N
(3) Không có tồn tại số n nào trong tập N mà S(n) = 0
(4) Phép cộng trong tập N được biểu diễn như sau:
a + 0 = a
a + S(b) = S(a + b)
Nếu như coi S(0) = 1 và S(1) = 2. Chúng ta sẽ cần phải chứng minh: S(0) + S(0) = S(1)
Ta có:
Từ (4):
S(0) + S(0) = S(S(0) + 0) (5)
S(0) + 0 = S(0) (6)
Từ (1) và (5):
S(S(0) + 0) = S(S(0)) (7)
Từ (5) và (7):
S(0) + S(0) = S(S(0)) hay 1 + 1 = 2 (điều phải chứng minh)

===============
Giới thiệu:

Cả một thời gian dài trong đời HS phổ thông lớp 1 – lớp 9, chúng ta công nhận

1 + 1 = 2 như một sự thật hiển nhiên; Cũng như công nhận các định nghĩa phép cộng, phép nhân, chia…trong số tự nhiên N theo sách giao khoa. Nhưng khi đã có các kiến thức sơ đẳng về logic toán, l‎í thuyết tập hợp, ánh xạ và với những ai yêu toán học lại có chút “đầu óc” tư duy toán học thì không thể “bằng lòng” với “điều hiển nhiên” ấy ! Nhất là khi tiếp cận với “nghịch lí 1 + 1 = 1” với các dẫn dụ:

1 giọt nước thêm vào 1 ao nước vẫn là 1 ao nước;

1 hạt cát + 1 đống cát = 1 đống cát

1 tập hợp hữu hạn + 1 tập hợp vô hạn = 1 tập hợp vô hạn.

Tìm hiểu thêm, chúng ta biết rằng : 1 + 1 = 2 chỉ có thể chứng minh được chặt chẽ thành định lí [1] sau khi nhà toán học Giuseppe Peano (1891) đưa ra hệ tiên đề mang tên ông: “hệ tiên đề Peano” [2]

Tài liệu này sưu tầm một số thông tin liên quan định lí và tiên đề nói trên

1/ Chứng minh 1+1=2 như thế nào ?

Để CM dịnh lí này ta phải đi về tận cội nguồn sâu xa của toán học.
Tại sao có 1+1=2 ? Đó chẳng qua là do sự nhận thức trực quan của con người khi thấy có 1 con bò đẻ thêm 1 con bò người ta được 2 con bò.
Nhưng chúng ta lập luận theo “kiểu toán học”: Cộng một ( +1) vào một số trong tập số tự nhiên ( N) chính là phép biểu hiện số liền sau. Như vậy, 1+1 nghĩa là số liền sau số 1, n+1 nghĩa là số liền sau số n. Cách hiểu vấn đề như vậy cũng còn rất trực quan; tiếp theo ta phải lập luận:

Hệ tiên đề Peano
Nhà toán học Giuseppe Peano (1858 - 1932) [3] đã đưa ra hệ tiên đề Peano gồm 4 tiên đề như sau:
Có một tập hợp N gồm các tính chất sau:
1/ Với mỗi phần tử x trong N có một phần tử, ký hiệu là S(x), trong N được gọi là phần tử kế tiếp của x
2/ Cho x và y trong N sao cho, nếu S(x)=S(y) thì x = y
3/ Có một phần tử trong N ký hiệu là 1 sao cho 1 không là phần tử kế tiếp của một tử nào trong N (nghĩa là không tồn tại x sao cho S(x)=1 )
4/ Cho U là tập con của N sao cho 1 thuộc U và S(x) thuộc U  x thuộc U. Lúc đó U = N

Ta thấy rằng, các phép cộng, phép nhân trên N cũng chỉ là một ánh xạ :

NxN -> N
Với các định nghĩa trên của Peano, ta có thể xác định:

2 là S(1), 3 là S(2), 4 là S(3) .........
Ta cũng có thể xác định phép cộng trên N như sau: n+1 = S(n), n+2=S(n+1)
Ta cũng có thể xác định phép nhân trên N như sau: 1.n = n, 2.n = n+n, ....

Và do đó việc 1+1=2 là do từ các tiên đề Peano mà có.

Lưu ý:

*Từ các tiên đề Peano, định nghĩa phép công, phép nhân, ta có thể CM các tính chất giao hoán, phân phối. Và đặc biệt, quan trọng nhất là: Tập N được định nghĩa như trên là duy nhất theo nghĩa song ánh (Nếp tồn tại tập M thỏa mãn các tiên đề Peano, thì tồn tại song ánh từ N vào M) .

* Các kí tự số 1, 2, 3, …n biểu diễn trên đây đều là trong hệ số đếm thập phân; nếu bểu diễn trong hệ nhị phân thì là 1 + 1 = 10.

* Trong phép cộng số học phổ thông, các số không có đơn vị đính kèm, chúng đã được khái quát hóa => Các sách GK phổ thông về toán khi giải về cộng Thí dụ số bò thì ghi ra ngoài: 1, 2 , 3 (con bò) => không thể cộng: 1 con bò + 1 đuôi bò….

2/ Hiểu thêm về “nghịch lí 1 + 1 = 1”

Với các dẫn dụ:

1 giọt nước thêm vào 1 ao nước vẫn là 1 ao nước;

1 hạt cát + 1 đống cát = 1 đống cát

Rõ ràng 1 gọt với 1 ao (nước); 1 hạt với 1 đống (cát) không thuộc tập số tự nhiên, không bị ràng buộc bởi tiên đề Peano. Nếu hiểu trong lĩnh vực số và các định nghĩa phép cộng của hệ tiên đề Peano thì đây là các “ngụy lí”.

Riêng nghịch lí: 1 tập hợp hữu hạn + 1 tập hợp vô hạn = 1 tập hợp vô hạn lại là nghịch lí hay, nhưng không nằm trong lí thuyêt số học sơ cấp .

3/ Tham khảo [1]

Việc chứng minh bắt đầu từ Peano Postulates (hệ tiên đề Peano), với định nghĩa số tự nhiên N. N là tập nhỏ nhất thoả hệ tiên đề : (P=tiên đề peano)

Khi đó ta phải chứng minh đệ quy phép cộng:
Định nghĩa: cho a và b thuộc N. nếu b = 1 thì a+b=a’
(dùng P1 và P2): nếu b khác 1 thì cho c’ = b, với c thuộc N
(dùng P4) : và định nghĩa a+b = (a+c’ ) thì phải có định nghĩa 2:
Định nghĩa 2: 2=1’
2 thuộc N theo P1, P2, và định nghĩa 2
Định lí: 1+1=2
Sử dụng phần đầu tiên của định nghĩa và với a = b = 1 thì

1 + 1 = 1’  (đpcm)

Chú ý: với công thức thay thế lần lượt của Peano Postulates, khi thay 1 bằng 0 vào P1, P3, P4 và P5 khi đó phải thay đổi định nghĩa phép cộng thành:
Định nghĩa: cho a và b thuộc N. nếu b =0, thì định nghĩa a +b = a
Nếu b khác 0, với c thuộc N, và định nghĩa a + b =( a+ c)’
Cũng phải định nghĩa 1 = 0’, và 2= 1’. Khi đó dẫn chứng cho định lí trên có một sự khác biệt nhỏ:
Chứng minh: dùng phần thứ hai của định nghĩa của phép cộng :
1 + 1 = (1+0)’
Rồi dùng phần đầu của định nghĩa phép cộng về tổng
1 +1 = (1)’ = 2 (đpcm)
Click to expand...

Địp mẹ cặ k

giangqaz · 8/4/24

Daotankpro nói: ↑

Haha, ko hiểu về thuyết tiến hóa mà chém như đúng rồi.
Quan điểm về chọn lọc tự nhiên của Đác Uyn là chưa chuẩn. Thực tế và nghiên cứu của Kimura chỉ ra rằng chọn lọc tự nhiên ko "tàn khốc" như Đác Uyn nghĩ. Chọn lọc tự nhiên "bao dung" hơn nhiều khi mà các đột biến ko gây hại vẫn được giữ lại và duy trì. Cái này là lỗ hổng lớn nhất trong lý luận của thuyết tiến hóa.
Bảo thuyết tiến hóa sai nó khác hoàn toàn với bảo thuyết tiến hóa có 1 số hạn chế thiếu sót.
Click to expand...

ở thì ông phải cùng phe với tôi chứ, tôi bảo nó sai mà. Còn tôi ko nghiên cứu sinh học nên ko thuộc làu hết được
Còn công lao của darwin là rõ ràng, vạch ra hướng đi đúng sau này. Còn cái so sánh trong sgk lớp 12 đã rõ ràng khi darwin khác quá nhiều so với thuyết phổ biến hiện tại đang sử dụng, lí do vì ko biết đến công trình của menden
Lỗi lớn nhất là darwin cho rằng đột biến tốt xấu gì đó giảm 50% sau mỗi đời( hay đại loại thế)
Tôi chỉ nói cái đơn giản là ai học sinh học 12 xong cũng phải hiểu thuyết tiến hóa darwin ko phải cái chúng ta đang sử dụng ngày nay, nên nó sai( ít nhất ở thời điểm hiện tại).

N00bforever · 8/4/24

giangqaz nói: ↑

Lỗi lớn nhất là darwin cho rằng đột biến tốt xấu gì đó giảm 50% sau mỗi đời( hay đại loại thế)
Click to expand...

Xin nguồn

giangqaz · 8/4/24

Nhật Bình nói: ↑

Điều đó là hiển nhiên. Nó đúng với hiểu biết của con người ở tk 18 chứ k phải hiện tại. Với dữ kiện của thế kỉ 18 thì chỉ có thể suy luận được đến thế, đấy là hạn chế của thời đại chứ k hẳn là lỗi của người đề ra học thuyết/định lý. Kể cả các học thuyết của hiện tại thì trong tương lai, khi hiểu biết của con người rộng hơn thì nó lại phải cập nhật thôi.

Đấy là định lý trong triết học hay toán học, vì nó suy diễn từ hệ tiên đề (mặc nhiên coi là đúng). Định lý trong khoa học tự nhiên/khoa học xã hội là tổng quát hóa từ thực nghiệm, & vẫn có thể sai nếu hiểu biết của con người mở rộng hơn.
Lấy ví dụ đơn giản như thiên nga đen. Trước khi biết đến châu Úc thì mọi con thiên nga mọi người nhìn thấy đều màu trắng, nên hình thành "định lý" thiên nga có màu trắng. Khi con người đến Úc & nhìn thấy thiên nga đen, thì định lý lúc này k còn đúng nữa, & phải bổ sung.
Click to expand...

thì ở hiện tại nó mới sai đó, có phải bàn nó ở tk 18 đâu
Mà việc đi tìm cách chứng minh cách thuyết cũ sai cũng là cách khoa học phát triển

Daotankpro · 8/4/24

giangqaz nói: ↑

ở thì ông phải cùng phe với tôi chứ, tôi bảo nó sai mà. Còn tôi ko nghiên cứu sinh học nên ko thuộc làu hết được
Còn công lao của darwin là rõ ràng, vạch ra hướng đi đúng sau này. Còn cái so sánh trong sgk lớp 12 đã rõ ràng khi darwin khác quá nhiều so với thuyết phổ biến hiện tại đang sử dụng, lí do vì ko biết đến công trình của menden
Lỗi lớn nhất là darwin cho rằng đột biến tốt xấu gì đó giảm 50% sau mỗi đời( hay đại loại thế)
Tôi chỉ nói cái đơn giản là ai học sinh học 12 xong cũng phải hiểu thuyết tiến hóa darwin ko phải cái chúng ta đang sử dụng ngày nay, nên nó sai( ít nhất ở thời điểm hiện tại).
Click to expand...

sushiman_to_PC · 8/4/24

vẫn tiếp tục cãi lộn với thằng vừa ngu vừa lì à mí bạng

giangqaz · 8/4/24

Daotankpro nói: ↑

Click to expand...

Daotankpro nói: ↑

Click to expand...

à ý ông là nó ko sai hả
Trong khi lí luận của nó là sai
Chịu
Thôi tôi chịu ko hiểu logic mấy ông
Tóm gọn lại là cãi nhau xem nó sai - hay là hạn chế thiếu sót
Và về cơ bản thì 2 cái là 1 vì nó ko thể là đúng được

Siscon · 8/4/24

dẹp cái lão tiến sĩ sinh học chuyển sinh thằng tiền đạo chân gỗ đê

wubim · 8/4/24

Siscon nói: ↑

dẹp cái lão tiến sĩ sinh học chuyển sinh thằng tiền đạo chân gỗ đê
Click to expand...

để post tiếp "chứng minh 2+3=5" nhé

N00bforever · 8/4/24

Cơ chưởng viết bài luận chứng minh U80 hơn U20 đi

tronghieu906 · 8/4/24

wubim nói: ↑

Đầu tiên phải nói rằng, 1 + 1 = 2 không phải tiên đề như nhiều người vẫn nghĩ. Trên thực tế 1 + 1 = 2 là một mệnh đề có thể chứng minh được nếu như có các điều kiện đi trước (tiên đề) quy định những khái niệm trong mệnh đề này. Vì vậy trước khi đi vào việc đấy thì ta cần tìm hiểu một vài khái niệm trước.
1- Số tự nhiên
"Chúa tạo ra số nguyên, tất cả những thứ còn lại là sản phẩm của con người" - Leopold Kronecker
Để nguồn gốc của số tự nhiên là một chủ đề dài dòng, nhưng chúng ta có thể hiểu rằng số tự nhiên là một hình thức đếm các sự vật tự nhiên của con người. Việc đếm này có thể xuất phát từ những quy luật trong sự quan sát các sự vật tự nhiên. Nếu như sử dụng ngôn ngữ tự nhiên, chúng ta có thể hiểu về quy luật đếm này thông qua ví dụ như sau:
- Một là số lượng mũi mà một con mèo bình thường, khỏe mạnh trong tự nhiên có.
- Hai là số lượng mắt mà một con mèo bình thường, khỏe mạnh trong tự nhiên có.
(Ở đây không đi sâu vào việc từ nguyên của các khái niệm mũi, mắt, mèo... mà chỉ dùng ví dụ này để giải thích cho việc quan sát tự nhiên. Các khái niệm trên đều có thể quy định theo cách khác, nhưng đấy là việc của ngôn ngữ học và xin không bàn trong bài viết này.)
Việc đếm này hoàn toàn mang tính chất định lượng, không có tính định tính. Có nghĩa là trong khi đếm, chúng ta đã mặc định rằng những vật được đếm có cùng "tính chất" như nhau. Việc quy định tính chất này, khi đặt ngoài phạm trù Toán học, thì có thể rất linh hoạt, nhưng khi đưa vào trong Toán học thì buộc phải có sự đồng nhất. Giả sử chúng ta đếm một rổ quả, thì rổ đó có thể có 5 quả cam, nhưng cũng có thể có 3 quả cam và 2 quả chanh. Nếu như chúng ta quy định rằng việc đếm dành cho riêng tính chất "cam" của quả và "chanh" của quả thì chúng ta sẽ có 3 quả cam và 2 quả chanh nhưng nếu như chúng ta quy tất cả những vật trong rổ đều cùng một tính chất "quả" thì chúng ta vẫn sẽ có 5 "quả". Trong toán học thuần túy, việc đếm được mặc định là không có các tính chất trên, hay là mặc định đồng nhất về tính chất (cho công bằng trong những trường hợp trao đổi chẳng hạn). Và để biểu thị cho việc định tính này, lịch sử loài người chứng kiến các phương thức khác nhau của các nền văn minh/dân tộc khác nhau:
- Người Ai Cập áp dụng hệ thống chữ tượng hình của họ cho việc đếm:

- Người La Mã sử dụng hệ thống số La Mã:

- Và hệ thống số Ả-rập được sử dụng rộng rãi trong Toán học hiện đại:

Các chữ số hiện tại chúng ta dùng như: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 chẳng qua chỉ là một loại ký hiệu nhằm biểu thị việc đếm mà thôi. Tuy nhiên, khi nhìn ở khía cạnh Toán học thì chúng không chỉ đơn thuần là đếm nữa mà chúng trở thành đối tượng Toán học (mathemetical object). Và khi đã là đối tượng Toán học, thì ngoài chức năng đếm, chúng còn phải đảm bảo thêm hai điều:
- Chúng có thể được sử dụng để thực hiện các suy diễn logic
- Chúng có thể được sử dụng để thực hiện các chứng minh trong toán học
Có một câu hỏi là: liệu chúng ta có thể sử dụng các ký hiệu khác thay cho 0, 1, 2, 3... hay không thì câu trả lời là CÓ. Tuy nhiên việc sử dụng các ký hiệu khác không có tính ứng dụng, do các quy chuẩn như quy chuẩn về ký hiệu số tự nhiên đã được chấp nhận và sử dụng quá lâu, ngoài ra còn một điểm quan trọng nữa là chúng phục vụ tốt mục đích của chúng.
2- Các phép toán số học sơ cấp (Elementary Arithmetic) và tiên đề Peano (Peano Anxioms)
Một trong những nhánh đầu tiên của Toán học cổ đại là Số học sơ cấp, với sự ra đời của các phép toán sơ cấp. Phép toán là những phép tính lấy đầu vào là hai hay nhiều toán hạng (hoặc phần tử) để đưa ra một ra trị đầu ra. Các phép toán của số học sơ cấp bao gồm:
- Phép cộng: Biểu hiện việc thêm vào, được ký hiệu bằng "+"
- Phép trừ: Biểu hiện việc giảm đi, và là đảo ngược của phép cộng, được ký hiệu bằng "-"
- Phép nhân: Biểu hiện việc nhân bản (scaling operation), cho phép hiển thị phép cộng nhiều toán hạng giống nhau thông qua số lượng toán hạng và ký hiệu "x"
- Phép chia: Là phép đảo ngược của phép nhân, và được ký hiệu là ":"
Vào thế kỷ thứ 19, nhà toán học Giuseppe Peano (27 tháng 8 năm 1858 – 20 tháng 4 năm 1932) đã sử dụng các khái niệm về số tự nhiên và phép toán số học sơ cấp để đưa ra các định đề nhằm xác định các tính chất của số tự nhiên, gọi chung là hệ tiên đề Peano. Hệ tiên đề này bao gồm 9 định đề :
Định đề đầu tiên nói rằng hằng số 0 là một số tự nhiên:
1. 0 là một số tự nhiên
Bốn định đề tiếp theo mô tả quan hệ bằng nhau
2. Với mỗi số tự nhiên x, x = x. Quan hệ bằng nhau có tính phản thân (reflexive)
3. Với tất cả các số tự nhiên x và y, nếu như x = y thì y = x. Quan hệ bằng nhau có tính đối xứng
4. Với tất cả các số tự nhiên x, y, và z, nếu như x = y thì y = z và x = z. Quan hệ bằng nhau có tính bắc cầu
5. Với mỗi a và b, nếu b là một số tự nhiên và a = b thì a cũng là số tự nhiên. Với phép bằng nhau, tập hợp số tự nhiên là một hệ đóng.
(Một tập hợp đóng trong điều kiện phép toán a là khi thực hiện phép toán a lên các phần tử của tập hợp ta chỉ được kết quả là một phần tử của tập hợp đấy)
Các định đề còn lại định hình tính chất phép toán trong tập hợp số tự nhiên. Nếu coi tập hợp số tự nhiên là đóng trong điều kiện hàm tiết triển đơn trị S:
(Hàm tiết triển (successor function) là hàm cho phép đưa ra kết quả tiếp theo trong dãy , còn Hàm đơn trị (single-valued) là hàm mà qua hàm, với mỗi phần tử thuộc tập nguồn chỉ tương ứng với một phần tử duy nhất trong tập đích.)
6. Với mỗi số tự nhiên n, S(n) là một số tự nhiên. Tập hợp số tự nhiên là tập hợp đóng đối với điều kiện hàm S.
7. Với mỗi số tự nhiên m và n, m = n khi và chỉ khi S(m) = S(n). S là một hàm đơn ánh
8. Với mỗi số tự nhiên n, S(n) = 0 là sai. Không có số tự nhiên nào trước 0.
9. Nếu K là một tập hợp mà:

0 thuộc K

Với mỗi số tự nhiên n, n thuộc K mà S(n) cũng thuộc K thì K chứa tất cả các số tự nhiên

Nếu như chiếu theo hệ định đề Peano, chúng ta có thể hiểu rằng, 0 là số tự nhiên đầu tiên, và tất cả các số tự nhiên khác chỉ là sản phẩm của hàm S. Có thể hiểu như sau:
Ta có dãy N bắt đầu bằng 0.
Phần tử tiếp theo của dãy N là sản phẩm của hàm tiết triển S đối với 0, ký hiệu là S(0). Theo quy tắc như thế, chúng ta sẽ có sản phẩm tiếp theo là S(S(0)), S(S(S(0)))... Và dãy N sẽ như thế này:
N = 0, S(0), S(S(0)), S(S(S(0))), ...
Các phép toán trong hệ số tự nhiên bao gồm phép Cộng và Nhân, được xây dựng như sau:
Phép cộng:
a + 0 = a
a + S(b) = S(a+b)
Phép nhân:
a . 0 = 0
a . S(b) = (a . b) + a
CHỨNG MINH 1 + 1 = 2
Trước khi sử dụng hệ tiên đề Peano để chứng minh: 1 + 1 = 2, xin nói rằng đây không phải là cách duy nhất. Trên thực tế, còn có những cách khác để giải quyết vấn đề này:
1. Định danh/Định nghĩa: Không phải chứng minh mà sử dụng việc gán định nghĩa. Tức là 2 := 1 + 1. Ở đây ta sử dụng ký hiệu "2" để gán cho kết quả của phép biến đổi "1 + 1". Cách này sẽ trả lời cho một câu hỏi phát sinh: Tại sao " 1 + 1 " lại " = 2" chứ không phải " = 3"? Với việc gán định nghĩa này, thì bằng 3, 4, 5, hay 6 đều được, nhưng chúng không có ý nghĩa về mặt toán học.
Lý do: Nếu như sử dụng việc định nghĩa, thì "1 + 1 = 2" gần với ngôn ngữ tự nhiên hơn là ngôn ngữ Toán học. Khi đó thì hoàn toàn có thể hiểu rằng "phép thêm vào giữa một với một cho ra một kết quả, kết quả đó được đặt tên là hai".
Và vì như vậy, với một biến đổi khác, chúng ta lại phải lặp lại quy trình định danh/định nghĩa trên. Trong khi đó, nếu như "1", "2" , "+", "=" là các đối tượng Toán học, thì chúng còn phải có thể sử dụng để thực hiện các phép suy luận logic và thực hiện chứng minh toán học nữa. Mà để thực hiện được các phép suy luận logic và thực hiện chứng minh toán học thì chúng ta cần phải đặt ra các "điều luật cơ bản" về các yếu tố trong một hệ thống logic (Toán học là một dạng hệ thống logic). Các điều luật cơ bản này được gọi là hệ tiên đề/tiên đề.
Chúng ta công nhận hệ tiên đề không phải vì chúng tuyệt đối đúng, mà vì chúng là những điều luật cơ bản để từ đó chúng ta phát triển được các phép biến đổi khác trong hệ thống sử dụng những điều luật này. Có thể so sánh việc này với chơi cờ vua vậy. Kỳ thủ sẽ không hỏi "Tại sao lại có luật này?" mà sẽ chỉ sử dụng các điều luật đó để đạt được những kết quả mà hệ thống luật đấy cho phép.
2. Cách chứng minh của Alfred North Whitehead và Bertrand Russell trong cuốn "Principia Mathematica"
Nhiều người nói rằng đây là cách chứng minh 300 trang, nhưng thực ra thì không phải. Chỉ có một phần trong cuốn sách này được dùng để chứng minh 1 + 1 = 2 thôi. Và đấy là trang này:

$[IMG]$
Trong đó, mệnh đề " 1 + 1 = 2" được viết lại bằng ngôn ngữ logic như sau:

$[IMG]$
Và nếu viết bằng ngôn ngữ logic hiện đại hơn chút thì sẽ thế này:
∗54.43. ⊢((α,β∈1) ⊃ ((α∩β=Λ) ≡ (α∪β∈2)))
Tôi sẽ không giải thích cách chứng minh này ở đây mà sẽ để dành cho một bài viết khác, khi tôi thực sự có thể hiểu hết những gì viết ở mấy dòng trên.
*
Bây giờ quay trở lại với chứng minh "1 + 1 = 2" thông qua hệ tiên đề Peano. Để tóm gọn lại, với một hàm tiết triển đơn trị S, quan hệ bằng nhau và phép cộng, ta có:
(1) Với mỗi m và n, S(m) = S(n) khi và chỉ khi m = n
(2) Với tập hợp số tự nhiên N là tập hợp đóng dưới hàm S, với mỗi a nằm trong tập hợp N thì hoặc là a = 0, hoặc là a = S(b) với b cũng nằm trong N
(3) Không có tồn tại số n nào trong tập N mà S(n) = 0
(4) Phép cộng trong tập N được biểu diễn như sau:
a + 0 = a
a + S(b) = S(a + b)
Nếu như coi S(0) = 1 và S(1) = 2. Chúng ta sẽ cần phải chứng minh: S(0) + S(0) = S(1)
Ta có:
Từ (4):
S(0) + S(0) = S(S(0) + 0) (5)
S(0) + 0 = S(0) (6)
Từ (1) và (5):
S(S(0) + 0) = S(S(0)) (7)
Từ (5) và (7):
S(0) + S(0) = S(S(0)) hay 1 + 1 = 2 (điều phải chứng minh)

===============
Giới thiệu:

Cả một thời gian dài trong đời HS phổ thông lớp 1 – lớp 9, chúng ta công nhận

1 + 1 = 2 như một sự thật hiển nhiên; Cũng như công nhận các định nghĩa phép cộng, phép nhân, chia…trong số tự nhiên N theo sách giao khoa. Nhưng khi đã có các kiến thức sơ đẳng về logic toán, l‎í thuyết tập hợp, ánh xạ và với những ai yêu toán học lại có chút “đầu óc” tư duy toán học thì không thể “bằng lòng” với “điều hiển nhiên” ấy ! Nhất là khi tiếp cận với “nghịch lí 1 + 1 = 1” với các dẫn dụ:

1 giọt nước thêm vào 1 ao nước vẫn là 1 ao nước;

1 hạt cát + 1 đống cát = 1 đống cát

1 tập hợp hữu hạn + 1 tập hợp vô hạn = 1 tập hợp vô hạn.

Tìm hiểu thêm, chúng ta biết rằng : 1 + 1 = 2 chỉ có thể chứng minh được chặt chẽ thành định lí [1] sau khi nhà toán học Giuseppe Peano (1891) đưa ra hệ tiên đề mang tên ông: “hệ tiên đề Peano” [2]

Tài liệu này sưu tầm một số thông tin liên quan định lí và tiên đề nói trên

1/ Chứng minh 1+1=2 như thế nào ?

Để CM dịnh lí này ta phải đi về tận cội nguồn sâu xa của toán học.
Tại sao có 1+1=2 ? Đó chẳng qua là do sự nhận thức trực quan của con người khi thấy có 1 con bò đẻ thêm 1 con bò người ta được 2 con bò.
Nhưng chúng ta lập luận theo “kiểu toán học”: Cộng một ( +1) vào một số trong tập số tự nhiên ( N) chính là phép biểu hiện số liền sau. Như vậy, 1+1 nghĩa là số liền sau số 1, n+1 nghĩa là số liền sau số n. Cách hiểu vấn đề như vậy cũng còn rất trực quan; tiếp theo ta phải lập luận:

Hệ tiên đề Peano
Nhà toán học Giuseppe Peano (1858 - 1932) [3] đã đưa ra hệ tiên đề Peano gồm 4 tiên đề như sau:
Có một tập hợp N gồm các tính chất sau:
1/ Với mỗi phần tử x trong N có một phần tử, ký hiệu là S(x), trong N được gọi là phần tử kế tiếp của x
2/ Cho x và y trong N sao cho, nếu S(x)=S(y) thì x = y
3/ Có một phần tử trong N ký hiệu là 1 sao cho 1 không là phần tử kế tiếp của một tử nào trong N (nghĩa là không tồn tại x sao cho S(x)=1 )
4/ Cho U là tập con của N sao cho 1 thuộc U và S(x) thuộc U  x thuộc U. Lúc đó U = N

Ta thấy rằng, các phép cộng, phép nhân trên N cũng chỉ là một ánh xạ :

NxN -> N
Với các định nghĩa trên của Peano, ta có thể xác định:

2 là S(1), 3 là S(2), 4 là S(3) .........
Ta cũng có thể xác định phép cộng trên N như sau: n+1 = S(n), n+2=S(n+1)
Ta cũng có thể xác định phép nhân trên N như sau: 1.n = n, 2.n = n+n, ....

Và do đó việc 1+1=2 là do từ các tiên đề Peano mà có.

Lưu ý:

*Từ các tiên đề Peano, định nghĩa phép công, phép nhân, ta có thể CM các tính chất giao hoán, phân phối. Và đặc biệt, quan trọng nhất là: Tập N được định nghĩa như trên là duy nhất theo nghĩa song ánh (Nếp tồn tại tập M thỏa mãn các tiên đề Peano, thì tồn tại song ánh từ N vào M) .

* Các kí tự số 1, 2, 3, …n biểu diễn trên đây đều là trong hệ số đếm thập phân; nếu bểu diễn trong hệ nhị phân thì là 1 + 1 = 10.

* Trong phép cộng số học phổ thông, các số không có đơn vị đính kèm, chúng đã được khái quát hóa => Các sách GK phổ thông về toán khi giải về cộng Thí dụ số bò thì ghi ra ngoài: 1, 2 , 3 (con bò) => không thể cộng: 1 con bò + 1 đuôi bò….

2/ Hiểu thêm về “nghịch lí 1 + 1 = 1”

Với các dẫn dụ:

1 giọt nước thêm vào 1 ao nước vẫn là 1 ao nước;

1 hạt cát + 1 đống cát = 1 đống cát

Rõ ràng 1 gọt với 1 ao (nước); 1 hạt với 1 đống (cát) không thuộc tập số tự nhiên, không bị ràng buộc bởi tiên đề Peano. Nếu hiểu trong lĩnh vực số và các định nghĩa phép cộng của hệ tiên đề Peano thì đây là các “ngụy lí”.

Riêng nghịch lí: 1 tập hợp hữu hạn + 1 tập hợp vô hạn = 1 tập hợp vô hạn lại là nghịch lí hay, nhưng không nằm trong lí thuyêt số học sơ cấp .

3/ Tham khảo [1]

Việc chứng minh bắt đầu từ Peano Postulates (hệ tiên đề Peano), với định nghĩa số tự nhiên N. N là tập nhỏ nhất thoả hệ tiên đề : (P=tiên đề peano)

Khi đó ta phải chứng minh đệ quy phép cộng:
Định nghĩa: cho a và b thuộc N. nếu b = 1 thì a+b=a’
(dùng P1 và P2): nếu b khác 1 thì cho c’ = b, với c thuộc N
(dùng P4) : và định nghĩa a+b = (a+c’ ) thì phải có định nghĩa 2:
Định nghĩa 2: 2=1’
2 thuộc N theo P1, P2, và định nghĩa 2
Định lí: 1+1=2
Sử dụng phần đầu tiên của định nghĩa và với a = b = 1 thì

1 + 1 = 1’  (đpcm)

Chú ý: với công thức thay thế lần lượt của Peano Postulates, khi thay 1 bằng 0 vào P1, P3, P4 và P5 khi đó phải thay đổi định nghĩa phép cộng thành:
Định nghĩa: cho a và b thuộc N. nếu b =0, thì định nghĩa a +b = a
Nếu b khác 0, với c thuộc N, và định nghĩa a + b =( a+ c)’
Cũng phải định nghĩa 1 = 0’, và 2= 1’. Khi đó dẫn chứng cho định lí trên có một sự khác biệt nhỏ:
Chứng minh: dùng phần thứ hai của định nghĩa của phép cộng :
1 + 1 = (1+0)’
Rồi dùng phần đầu của định nghĩa phép cộng về tổng
1 +1 = (1)’ = 2 (đpcm)
Click to expand...

Dark quá deep quá

Nghịch Tia Sáng · 8/4/24

Chứng minh rằng Tam Thể là mèo cái đi

Đăng nhập

[z] 'Tam thể' đưa sci-fi Trung Quốc bước ra thế giới

Reidlos Mario & Luigi

Spiderman(Peter Parker)2 Donkey Kong

living2nd ✣✣✣ Xiaolonista✣✣✣ CHAMPION ✡ Shine Wizard ✡ Lão Làng GVN

Siscon Claude, S.A gang boss Lão Làng GVN

Red_Coral Fire in the hole! CHAMPION ♞ Blade Knight ♞ Lão Làng GVN

liinyxl Legend of Zelda

meoden1008 シェンムー Ryo Hazuki Berserker

xDarkxAngelx THE ONE ABOVE ALL GVN LEGENDARY ✟ Grim Reaper ✟ Nhân Viên Y Tế

darkdragon91 C O N T R A

giangqaz Space Marine Doomguy

N00bforever Chrono Trigger/Cross Lão Làng GVN

giangqaz Space Marine Doomguy

Daotankpro Mayor of SimCity Lão Làng GVN

sushiman_to_PC Mayor of SimCity

giangqaz Space Marine Doomguy

Siscon Claude, S.A gang boss Lão Làng GVN

wubim Cơ trưởng U60 Lão Làng GVN

N00bforever Chrono Trigger/Cross Lão Làng GVN

tronghieu906 Persian Prince Lão Làng GVN

Nghịch Tia Sáng Mayor of SimCity

Chia sẻ trang này

Đăng nhập

[z] 'Tam thể' đưa sci-fi Trung Quốc bước ra thế giới

Reidlos Mario & Luigi

Spiderman(Peter Parker)2 Donkey Kong

living2nd ✣✣✣ Xiaolonista✣✣✣ CHAMPION ✡ Shine Wizard ✡ Lão Làng GVN

Siscon Claude, S.A gang boss Lão Làng GVN

Red_Coral Fire in the hole! CHAMPION ♞ Blade Knight ♞ Lão Làng GVN

liinyxl Legend of Zelda

meoden1008 シェンムー Ryo Hazuki Berserker

xDarkxAngelx THE ONE ABOVE ALL GVN LEGENDARY ✟ Grim Reaper ✟ Nhân Viên Y Tế

darkdragon91 C O N T R A

giangqaz Space Marine Doomguy

N00bforever Chrono Trigger/Cross Lão Làng GVN

giangqaz Space Marine Doomguy

Daotankpro Mayor of SimCity Lão Làng GVN

sushiman_to_PC Mayor of SimCity

giangqaz Space Marine Doomguy

Siscon Claude, S.A gang boss Lão Làng GVN

wubim Cơ trưởng U60 Lão Làng GVN

N00bforever Chrono Trigger/Cross Lão Làng GVN

tronghieu906 Persian Prince Lão Làng GVN

Nghịch Tia Sáng Mayor of SimCity

Chia sẻ trang này

Tìm kiếm hữu ích